Ominide 50 punti

Funzione iniettiva

le varie tipologie di funzione

Definizione di funzione iniettiva

Sia f una funzione definita da un insieme A a un insieme B. Si dice che f è una funzione iniettiva, o anche che è un'iniezione, se, comunque si scelgano due elementi

[math]x_1,x_2 \in A [/math]
, allora

[math] x_1 \ne x_2 \to f(x_1) \ne f(x_2)[/math]

oppure in forma equivalente

[math]F(x_1) = f(x_2) \to x_1 = x_2 [/math]

In altre parole diciamo che f è una funzione iniettiva se elementi distinti hanno sempre immagini diverse, oppure, il che è lo stesso, se due elementi che hanno la stessa immagine coincidono, o ancora, se ciascun elemento di B è l'immagine, al più, di un solo elemento di A. (figura)

Funzione suriettiva

Suriettiva

Sia f una funzione definita da un insieme A a un insieme B. Si dice che f è una funzione suriettiva, o anche che è una suriezione, se F(A)=B, cioè se il codominio di f coincide con B, o, ancora, se ogni elemento di B è un'immagine di almeno un elemento di A. (figura)

Esempio di funzione NON suriettiva:
La funzione

[math]F: N \to N[/math]
definita da
[math]f(x) = x^2[/math]
essa non è suriettiva perchè non tutti i numeri naturali sono il quadrato di qualche naturale.

Inoltre, anche se consideriamo

[math]f(x) =x^2[/math]
con
[math]f: Z \to Z[/math]
la funzione nno è suriettiva.

Funzione biunivoca

Se una funzione

[math]f: A \to B[/math]
è sia iniettiva che suriettiva, si dice che è una funzione biettiva o una biiezione o una funzione biunivoca.

In termini insiemistici, la definizione può essere così riformulata:

Si dice che una funzione

[math]f: A \to B[/math]
è una funzione biunivoca se ogni elemento di B ha una e una sola controimmagine in A. (figura)

Se f è una funzione biunivoca si ha f(A)=B, ossia il codominio di f coincide con l'insieme B.
Quindi, se la funzione f è biunivoca, non solo a ogni
[math]x \in A[/math]
si può associare uno e un solo
[math]y \in B[/math]
, ma anche a ogni
[math]y \in B[/math]
si può associare uno e un solo
[math]x \in A[/math]
; si dice allora che gli insiemi A e B sono in corrispondenza biunivoca: vi è quindi una corrispondenza biunivoca tra il dominio e il codominio di f.

Registrati via email