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Fasci impropri di rette


Si definisce fascio improprio di rette l’insieme delle rette parallele ad una retta data detta retta base del fascio.

L’equazione del fascio è un’equazione di primo grado come le equazione di tutte le rette, però, oltre alle variabili x e y, presenta anche un parametro. La variazione di questo parametro fa si che l’equazione possa restituire infinite equazioni di primo grado, quindi infinite rette.
Poiché si vuole che tutte le rette siano parallele fra di loro si possono avere due soluzioni:

  1. Si fa in modo che non varino i coefficienti delle variabili ma solo il terminte noto;
  2. oppure pur facendo variare i coefficienti delle variabili si fa in modo che questi rimangano sempre proporzionali tra di loro.
Esempi di equazioni del fascio in forma esplicita:
[math]y=mx+k[/math]

Nell’equazione precedente il parametro è k mentre il coefficiente angolare m va inteso come un valore fisso.

Esempio:
Fascio di rette improprio con retta base la retta r) y=3x-1:

[math]y=3x+k[/math]


Esempi di equazioni del fascio in forma implicita:

[math]ax+by+k=0[/math]

Nell'equazione precedente il parametro che varia è k mentre i coefficienti a e b sono intesi costanti
Esempio:
Fascio di rette improprio con retta base la retta r) 3x-y-1=0:
[math]3x-y+k=0[/math]
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