Coefficienti delle radici con equazioni di secondo grado

Anzitutto, forniamo le basi degli esercizi che andremo a vedere. Data una radice

[math]x_{1}[/math]
e un'altra radice
[math]x_{2}[/math]
di esse possiamo trovare la somma:
[math]x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}=s[/math]
ed il prodotto
[math]x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}=p[/math]
. A cosa serve trovare il valore della somma e quello del prodotto? Poiché con tali mezzi possiamo scrivere la nostra equazione di secondo grado:
[math]x^{2}-sx+p=0[/math]
.

A questo punto introduciamo i classici esercizi riscontrabili in un compito di matematica sulle equazioni di secondo grado:

1° esercizio. Data l'equazione e una radice, trovare l'altra radice.

[math]x^{2}+x-6=0[/math]
con
[math]x_{1}=-3,x_{2}=?[/math]

Possiamo utilizzare, per risolvere, sia la somma dei coefficienti, sia il prodotto, otterremo comunque lo stesso risultato. Quindi:

[math]x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a} //
x_{2}=-\frac{b}{a}-x_{1} //
x_{2}=-\frac{1}{1}+3 //
x_{2}=2[/math]


2° esercizio. Data l'equazione, trovare la somma e il prodotto delle radici.

[math]4x^{2}+8x+3=0[/math]

Sappiamo che:

[math]x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}[/math]
, pertanto
[math]s=-\frac{b}{a}=-\frac{8}{4}=-2[/math]
.

[math]x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}[/math]
, pertanto
[math]p=\frac{c}{a}=\frac{3}{4}[/math]
.


3° esercizio. Data la somma e il prodotto delle radici, scrivi l'equazione.

[math]s=3[/math]
e
[math]p=-16[/math]

Sostituento alla formula data in precededenza (

[math]x^{2}-sx+p=0[/math]
), otteniamo:
[math]x^{2}-3x-16=0[/math]
.


4° esercizio. Data la somma e il prodotto delle radici, trovare i coefficienti delle radici.

[math]s=3[/math]
e
[math]p=\frac{5}{4}[/math]
.

S'imposta l'equazione:

[math]x^{2}-3x+\frac{5}{4}=0[/math]
, applicando il secondo principio di equivalenza delle equazioni possiamo scriverla nella forma:
[math]4x^{2}-12x+5=0[/math]
, pertanto utilizziamo una ridotta poiché
[math]b[/math]
è pari (sarebbe il coefficiente davanti la
[math]x[/math]
), quindi:

[math]\frac{∆}{4}=(\frac{b}{2})^{2}-ac, \frac{∆}{4}=36-20=16>0[/math]
.


[math]x_{1,2}=\frac{6±4}{4}[/math]
, da qui ricaviamo
[math]x_{1}=\frac{5}{2}[/math]
e
[math]x_{2}=\frac{1}{2}[/math]
.

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