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Equazioni di secondo grado incomplete

Rammentiamo la definizione.

Un'equazione di secondo grado è un espressione della forma

[math](*)\qquad a X^2 + b X + c = 0[/math]

dove:
-

[math]a[/math]
,
[math]b[/math]
e
[math]c[/math]
sono i coefficienti, rispettivamente, dei termini di grado 2, 1 e 0;
- la
[math]X[/math]
è la variabile.

Secondo il Teorema fondamentale dell'Algebra, ogni equazione di grado

[math]m[/math]
ammette
[math]m[/math]
soluzioni. La (*), dunque, ammette 2 soluzioni che si determinano mediante le formule risolutive:

[math](1)\qquad \Delta = b^2 - 4 a c\\

(2)\qquad X_1 =\frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a},\quad X_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}[/math]

La (*) si dice completa quando i coefficienti

[math]a[/math]
,
[math]b[/math]
e
[math]c[/math]
sono tutti non nulli, quando uno o più di essi è nullo, l'equazione risultante si dice incompleta.

PRIMO CASO:

[math]a=0[/math]

Se il coefficiente del termine di grado massimo,
[math]a[/math]
, è pari a 0, la (*) diventa

[math]b X + c = 0[/math]

che, evidentemente, non è più un equazione di secondo grado, bensì di primo.

SECONDO CASO:

[math]b=0[/math]

Se il coefficiente del termine di primo grado è nullo, la (*) diventa

[math]a X^2 + c = 0[/math]

e si dice equazione di secondo grado incompleta pura.
Per quanto riguarda la sua risoluzione, (1) e (2) continuano a valere, ma assumono una forma più semplice:

[math](1)'\qquad \Delta = - 4 a c\\

(2)'\qquad X_1 =\frac{- \sqrt{\Delta}}{2a},\quad X_2 = \frac{+ \sqrt{\Delta}}{2a}[/math]

Ovviamente, in questo secondo caso, il

[math]\Delta[/math]
non è mai nullo ma può essere positivo o negativo:
- se
[math]a[/math]
e
[math]c[/math]
sono concordi, allora il
[math]\Delta[/math]
è negativo e l'equazione non ammette soluzioni reali;
- se
[math]a[/math]
e
[math]c[/math]
sono discordi, allora il
[math]\Delta[/math]
è positivo e l'equazione ammette le due soluzioni reali ed opposte (2)'.

TERZO CASO:

[math]c[/math]
= 0
Se il termine noto è pari a 0, la (*) diventa

[math]a X^2 + b X = 0[/math]

e prende il nome di equazione di secondo grado incompleta spuria, la cui risoluzione non richiede necessariamente l'uso delle formule risolutive.
Volendo usare (1) e (2), esse diventano:

[math](1)"\qquad \Delta = b^2\\

(2)"\qquad X_1 =\frac{-b - \sqrt{b^2}}{2a}=-\frac{b}{a},\quad X_2 = \frac{-b + \sqrt{b^2}}{2a}=0[/math]

Altrimenti, si può effettuare un raccoglimento totale della variabile

[math]X[/math]
e risolvere come segue:

[math]a X^2 + b X = 0\ \Rightarrow\ X(a X + b) = 0\ \Rightarrow\ X=0,\ X=-b/a[/math]

Esempi: vedi file allegato.

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