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Equazioni di secondo grado complete

Un'equazione di secondo grado è un'espressione della forma

[math]a X^2 + b X + c = 0 (*)[/math]

dove:

[math]a, b, c[/math]
sono detti coefficienti dell'equazione, rispettivamente, dei termini di grado 2, 1 e 0 e sono numeri reali;
[math]X[/math]
è la variabile.

Lo scopo dell'equazione è determinare tutti i valori (che sono 2 visto che il grado dell'equazione è 2 - Teorema fondamentale dell'Algebra) che, sostituiti alla

[math]X[/math]
verificano l'uguaglianza.

Esempio:

[math]2 X^2 + 2X - 12 = 0[/math]

[math]X = 2[/math]
rende vera l'uguaglianza perché
[math]2(2^2) + 2(2) - 12 = 8 + 4 - 12 = 12 - 12 = 0[/math]

[math]X = 1[/math]
non verifica l'equazione perché
[math]2(1^2) + 2(1) - 12 = 2 + 2 - 12 = 4 - 12 = -8[/math]

L'equazione (*) viene detta completa, perché in essa compaiono tutti i termini, dal grado massimo al grado minimo: tutti i coefficienti sono cioè diversi da 0.

Come si risolve un equazione di secondo grado?
Esisono due formulette semplicissime:

[math] (1)\qquad \Delta = b^2 - 4 a c\\

(2)\qquad X_1 = \frac{-b -\sqrt{\Delta}}{2a}\quad X_2 = \frac{-b +\sqrt{\Delta}}{2a}[/math]

A seconda che il

[math]\Delta[/math]
sia positivo, nullo o negativo, la (*) ammette 2,1 o nessuna soluzione reale. Vediamo perché:

- se

[math]\Delta > 0[/math]
allora nella (2) è
[math]\sqrt{\Delta} > 0[/math]
e dunque le soluzioni reali
[math]X_1[/math]
e
[math]X_2[/math]
esistono e sono distinte;
- se
[math]\Delta = 0[/math]
allora nella (2) è
[math]\sqrt{\Delta} = 0[/math]
e dunque le soluzioni
[math]X_1[/math]
e
[math]X_2[/math]
esistono ma sono uguali, perciò si parla di due soluzioni reali e coincidenti
[math]X = -b/2a[/math]
;
- se
[math]\Delta<0[/math]
allora nella (2)
[math]\sqrt{\Delta}[/math]
non esiste e pertanto non esistono soluzioni reali della (*).

Esempi: vedi file allegato.

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