giggikr di giggikr
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Le equazioni

Definizione di identità

Es.

[math](x+2)^2=x^2+4x+4[/math]


Proviamo a sostituire al valore il numero 3, ma va bene qualsiasi valore di

[math]x\in\mathbb{R}[/math]
, otteniamo:


[math](3+2)^2=3^2+4\cdot 3+4\\ 5^2=9+12+4\\ \mathbf{25}=\mathbf{25}[/math]


Identità: è un'espressione letterale verificata per qualsiasi valore che io do all'incognita.

Definizione di equazione

[math]5x=25[/math]
equazione di 1° grado ad una incognita

Quando un'uguaglianza non è verificata per qualsiasi valore che do alla x ma solo per un valore allora avrò una equazione. Il grado dell'equazione è dato dal valore più alto fra gli esponenti della stessa incognita.


[math]5x+y=1[/math]
equazione di 1° grado a due incognite


Esempio:
per risolvere un'equazione di 1° grado ad una incognita devo trovare quell'unico valore numerico dell'incognita che soddisfa l'equazione.

[math]\frac{1}{7}(3x-1)-\frac{1}{5}(2x-4)=1[/math]

Calcolo il m.c.m. tra 7 e 5 = 35

[math]\frac{5}{35}(3x-1)-\frac{7}{35}(2x-4)=\frac{35}{35}[/math]


Elimino il denominatore grazie al 2° principio di equivalenza: moltiplicando o dividendo entrambi i membri di un'equazione per una stessa quantità (diversa da 0) si ottiene un'equazione equivalente alla data. Ottengo:

[math]5(3x-1)-7(2x-4)=35\\ 15x-5-14x+28=35[/math]


Grazie al 1° principio di equivalenza posso trasportare i singoli componenti dell'equazione da una parte all'altra dell'uguale cambiandoli di segno. 1° principio di equivalenza: addizionando o sottraendo ad entrambi i membri di un'equazione la stessa quantità si ottiene un'equazione equivalente alla data.

[math](15x-5-14x+28 )+5-28=(35)+5-28\\ 15x-14x=35+5-28\\ x=12[/math]

Radice o soluzione dell'equazione.

Nota: Termini uguali con lo stesso segno da parti diverse si annullando direttamente

Es.:

[math]5x+6-3=4x+6\ \Rightarrow\ 5x-3=4x[/math]

Equazioni letterali di 1° grado

Esempio:

[math]ax+4c=b-2x[/math]

Importante: la prima cosa da fare è distinguere tra incognita e parametri. L'equazione va risolta rispetto all'incognita in funzione dei parametri, trattando questi come numeri noti. In questo caso l'incognita è

[math]x[/math]
. Si portano i monomi contenenti l'incognita al primo membro, e gli altri al secondo

[math]ax+2x=b-4c[/math]


Utilizziamo ora la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione

[math](a+2)x=b-4c[/math]

A questo punto si analizzano i vari casi possibili a seconda dei valori delle lettere presenti.

1) se

[math]a+2\not= 0[/math]
e quindi
[math]a\not= -2[/math]
possiamo dividere per il coefficiente di
[math]x[/math]
ricavando l'unica radice dell'equazione

[math]x=\frac{b-4c}{a+2}[/math]

che cambia valore a seconda della scelta di

[math]a, b, c[/math]

2) se invece

[math]a=-2[/math]
possiamo distinguere i due casi seguenti:

a)

[math]b-4c\not=0\ \Rightarrow\ b\not= 4c[/math]
che rende l'equazione della forma
[math]0=b-4c[/math]
che risulta impossibile;

b)

[math]b-4c=0\ \Rightarrow\ b= 4c[/math]
che rende l'equazione della forma
[math]0=0[/math]
che risulta indeterminata (cioè soddisfatta per infiniti valori dell'incognita).

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