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Equazioni di secondo grado: incomplete e complete

Appunto sulle equazioni di secondo grado

E io lo dico a Skuola.net
Equazioni di secondo grado
Un'equazione di secondo grado nell'incognita x è un'eqazione che, scritta in forma normale è del tipo
[math]ax^2+bx+c=0[/math]
dove
[math]a,b,c\in\mathbb{R}[/math]
, con
[math]a\neq 0[/math]
(altrimenti l'equazione risulterebbe di primo grado).
ESEMPIO:
[math]2x^2-5x+1=0\Rightarrow a=2, b=-5, c=1.[/math]


N.B. un'equazione di 2 grado puo essere impossibile(cioe non ammettere soluzioni) oppure ammettere sempre 2 soluzioni.

EQUAZIONI DI 2 GRADO INCOMPLETE
Sono quelle equazioni di 2 grado in cui manca il termine di prima grado, il termine noto o entrambi.

EQUAZIONI MONOMIE
sono equazioni di 2 grado in cui manca sia il termine di1 grado sia il termine noto.
Hanno sempre due soluzioni reali coincidenti (uguali), pari a zero
ESEMPIO:
[math]3x^2=0\Rightarrow x_1=0=x_2[/math]

In generale tali equazioni sono della forma
[math]ax^2=0[/math]
.

EQUAZIONI SPURIE
sono quelle equazioni di secondo gradi in cui manca il termine noto.
PER RICAVARE LE LORO SOLUZIONI SI RICORRE AD UN RACCOGLIMENTO TOTALE E ALLA LEGGE DI ANNULLAMENTO DEL PRODOTTO(se un prodotto è 0, uno dei due fattori è 0)

ESEMPIO:
[math]3x^2-5x=0[/math]
al primo membro raccogliamo la x:
[math]x(3x-5)=0[/math]
Allora per la legge di annullamento del prodotto
[math]x=0[/math]
e
[math]x=5/3[/math]
sono le soluzioni dell'equazione.
In generale, un'equazione di questo tipo è della forma
[math]ax^2+bx=0[/math]
e le sue soluzioni risultano sempre
[math]x=0, x=-b/a[/math]


EQUAZIONI PURE
sono quelle equazioni dei 2 grado in cui manca il termine di 1 grado.
PER RICAVARE LE SOLUZIONI BASTA ISOLARE L'INCOGNITA DI 2 GRADO E POI ESTRARRE LA RADICE QUADRATA ALGEBRICA, CIOE' QUELLA DOTATA DI SEGNO + E -.

ESEMPIO:
[math]2x^2-32=0[/math]
isoliamo la x:
[math]2x^2=32[/math]
dividiamo per 2:
[math]x^2=16[/math]
e calcoliamo la radice:
[math]x=\pm\sqrt{16}=\pm 4[/math]
.
La forma generale di tali equazioni è
[math]ax^2+c=0[/math]
e la soluzione risulta
[math]x=\pm\sqrt{-c/a}[/math]

NB: tali equazioni ammettono due radici reali opposte solo nel caso in cui
[math]c/a\leq 0[/math]
. In caso contrario, infatti, la radice perde di significato (nel campo reale).


FORMULA RISOLUTIVA DELLE EQUAZIONI DI SECONO GRADO COMPLETE

Partiamo dall'equazione di 2 grado in forma normale
[math]ax^2+bx+c=0[/math]
Moltiplichiamo tutti e due i membri per
[math]4a[/math]
[math]4a(ax^2+bx+c)=0\cdot4a\Rightarrow 4a^2x^2+4abx+4ac=0[/math]
Aggiungo a tutti e due i membri il termine
[math]b^2[/math]
[math]4a^2x^2+4abx+b^2+4ac=b^2[/math]
Trasporto il monomio
[math]4ac[/math]
al secondo membro e osservo che i primi tre addendi al menbro sinistro costituiscono un quadrato di binomio
[math](2ax+b)^2=b^2-4ac[/math]
Di conseguenza abbiamo la formula risolutiva delle equazioni di 2 grado
[math]X_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}[/math]

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