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Concetti fondamentali di matematica, con definizioni ed esempi scaricato 13 volte

Funzione: in ambito matematico una funzione viene definita dai seguenti oggetti: un insieme

[math]A[/math]
definito dominio della funzione (
[math]f[/math]
), ossia l’insieme dei valori che la
[math]x[/math]
può assumere, e un insieme
[math]B[/math]
detto codominio della funzione (
[math]f[/math]
) formato dalle immagini degli elementi di
[math]A[/math]
. Sia
[math]A [/math]
un sottoinsieme di
[math]\mathbb{R}[/math]
, si chiama funzione reale definita nell’insieme
[math]A[/math]
una relazione/legge che ad ogni elemento
[math]x[/math]
in
[math]A[/math]
associa uno ed un solo numero reale, elemento
[math]y[/math]
in
[math]B[/math]
indicandolo con
[math]f(x)[/math]
, ed è detta corrispondenza univoca.
Si dice che
[math]x[/math]
è l’argomento della funzione, la variabile indipendente, mentre
[math]y[/math]
è una variabile dipendente della funzione.

Dati due insiemi non vuoti

[math]A[/math]
e
[math]B[/math]
si chiama funzione da
[math]X[/math]
in
[math]Y[/math]
una relazione
[math]f[/math]
tale che per ogni
[math]x \in A[/math]
esiste uno ed un solo elemento
[math]y \in B[/math]
tale che
[math](x,y) \in f[/math]
e quindi
[math]y = f(x)[/math]
. Il fatto che
[math]f[/math]
sia una funzione da
[math]X[/math]
in
[math]Y[/math]
che associa a
[math]x[/math]
l’elemento
[math]f(x)[/math]
si può esprimere con la scrittura
[math]f: x \rightarrow y[/math]
per cui
[math]x \mapsto f(x)[/math]
.

Classificazione: le funzioni reali di variabili reali sono definite per valori reali, cioè il loro dominio è

[math]\mathbb{R}[/math]
e il codominio sarà sempre
[math]\mathbb{R}[/math]
. Le funzioni reali si dividono in algebriche intere (espressa mediante un polinomio di primo grado rispetto alla x, lineare/retta, o di secondo, quadratica/parabola), fratte (espressa mediante un quoziente di polinomi), razionali, irrazionali (se la variabile indipendente compare sotto il segno di radice)) e trascendenti (esponenziali,logaritmiche,goniometriche,iperboliche)

LIMITI
Si dice che la funzione

[math]f(x)[/math]
definita in un insieme
[math]E[/math]
ha per limite
[math]l[/math]
per
[math]x[/math]
tendente a
[math]x_0[/math]
, e si scrive
[math]\lim_{x\to x_0} f(x)= l[/math]
quando in corrispondenza di un numero
[math]\epsilon >0[/math]
è possibile determinare un intorno completo
[math]I[/math]
di
[math]x_0[/math]
tale che, per tutti i valori di
[math]x \in I\cap E[/math]
e diversi da
[math]x_0[/math]
, risulti
[math]|f(x)- l|< \epsilon [/math]

[math]\forall\ \epsilon > 0\ \exists\ I_{x_0}\ |\ \forall\ x\in (I_{x_0}\cap E)\setminus\{x_0\}\ \Rightarrow\ |f(x)-l|<\epsilon[/math]

Se

[math]I[/math]
è un intorno destro di
[math]k[/math]
si parla di limite destro di
[math]f(x)[/math]
per cui
[math]\lim_{x\to k^+} f(x)=l_1[/math]

Se

[math]I[/math]
è un intorno sinistro di
[math]k[/math]
si parla di limite sinistro di
[math]f(x)[/math]
per cui
[math]\lim_{x\to k^-} f(x)=l_2[/math]

Se per

[math]f(x)[/math]
esistono il limite destro e il limite sinistro e questi sono uguali allora la
[math]f(x)[/math]
ha limite per
[math]x\to k[/math]

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