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Calcolo letterale - Polinomi

Guida generale di facile comprensione sui polinomi , operazioni, mcm e MCD metodi di scomposizione, Ruffini, divisione e relativi esempi

E io lo dico a Skuola.net
POLINOMI

Premessa
Un polinomio e' la somma algebrica di piu' monomi, detti termini del polinomi

In particolare, un polinomio composto dalla somma/differenza di due monomi e' detto binomio, di tre monomi e' detto trinomio (raro: di quattro e' detto quadrinomio)

Un polinomio e' ridotto in forma normale, quando non e' possibile eseguire alcuna operazione sui monomi che lo compongono (e pertanto i suoi termini sono tutti monomi non simili)

Il monomio di grado zero (ovvero quello senza parte letterale in cui, cioe' la parte letterale e' considerata elevata alla zero=1) e' detto termine noto. Se esiste, e' unico (infatti in caso di piu' termini noti e' possibile ulteriormente sommarli/sottrarli)

Un polinomio e' detto omogeneo, se tutti i monomi che lo compongono sono dello stesso grado

ESEMPIO:

[math] a^2b+a^3+b^3+2ab^2 [/math]
e' un polinomio omogeneo di terzo grado
Un polinomio puo' essere espresso secondo una sola variabile:

ESEMPIO:

[math] p(a)=3a^2+2ab+7b [/math]
e' un polinomio in cui viene considerata variabile solo la a. Questo significa che la b viene trattata come costante.
Particolarita' dei polinomi in una sola variabile ovvero espressi in una sola variabile

Un polinomio in una sola variabile (o espresso in una sola variabile) e' detto ordinato se i monomi sono scritti a partire dalla variabile con esponente piu' alto via via decrescendo

ESEMPIO

[math] y^4-2y^3+6y^2+9y-7 [/math]
e' un polinomio in una sola variabile (y) ordinato
[math] p(x)=yx^3-y^2x^2+yx-2+y [/math]
e' un polinomio espresso in una sola variabile (x) e ordinato rispetto ad essa.
Il termine noto, dunque, nel caso di un polinomio espresso in funzione di una variabile, sara' tutto cio' in cui la variabile non compare (ovvero e' elevata alla zero)

Nell'esempio precedente, trattando il polinomio in x, il termine noto sara'
[math] -2+y [/math]

Se il grado massimo della variabile (unica o espressa) presenta coefficiente 1, il polinomio e' detto monico.

Se i gradi della variabile sono tutti presenti (compreso quello di grado zero, ovvero il termine noto) il polinomio e' detto completo

ESEMPIO

[math] a^3-5a^2+2a-8 [/math]
e' completo (e in una variabile)
[math] p(a)=a^2+ba+7b^3 [/math]
e' completo, mentre lo stesso polinomio espresso come
[math] p(b)=a^2+ba+7b^3 [/math]
non lo e', in quanto manca
[math] b^2 [/math]

Grado del polinomio

Il grado del polinomio e' dato dal grado piu' alto dei monomi

ESEMPIO

[math] a^2b+a^4+b^7 [/math]
presenta 3 monomi di grado, rispettivamente, 3,4 e 7. Il polinomio e' di settimo grado.
Anche qui bisogna considerare l'eventuale espressione di una variabile.

Lo stesso polinomio, ma scritto come

[math] p(a)=a^2b+a^4+b^7 [/math]
presenta tre monomi con grado parziale (rispetto ad a) rispettivamente 2,4 e 0, e pertanto il grado di
[math] p(a) [/math]
sara' 4.
Moltiplicazione di monomio per polinomio

Si tratta di una moltiplicazione di un fattore (monomio) per una somma (polinomio)

Si ricordi, a tale proposito, la proprieta' distributiva del prodotto rispetto alla somma:

[math] a(b+c)=ab+cd [/math]

Pertanto moltiplicare un monomio per un polinomio, significhera' moltiplicare quel monomio, per ogni singolo addendo del polinomio.

ESEMPIO

[math] 2ab(3a+2b^2)=2ab \cdot 3a + 2ab \cdot 2b^2=6a^2b+4ab^3 [/math]

Somma di polinomi

Sommare due polinomi (ovvero sommare due somme algebriche) significa semplicemente sommare i monomi simili appartenenti alla somma dei polinomi.

Si ricordi, invece, che sottrarre a un polinomio un altro, significhera' cambiare di segno TUTTI i monomi del polinomio sottratto

ESEMPIO

[math] (a^2 - ab) - (ab+a^2)=a^2-ab-ab-a^2=-2ab [/math]

Prodotto di polinomi

Qui si ricordi la proprieta' distributiva della moltiplicazione, da applicare in due passaggi analoghi:

[math] (a+b)(c+d)=(a+b) \cdot c + (a+b) \cdot d [/math]

(consideriamo dunque (a+b) come fattore e c+d come somma)

e a questo punto riapplicandola

[math] a \cdot c + b \cdot c + a \cdot d + b \cdot d [/math]

Banalmente, quindi, bisognera' moltiplicare il primo monomio del primo polinomio per tutti i monomi del secondo, poi il secondo monomio del primo polinomio per tutti i monomi del secondo e cosi' via..

ESEMPIO

[math] (a+b)(a^2+b)=a \cdot a^2 + a \cdot b + b \cdot a^2 + b \cdot b [/math]

Il risultato sara'

[math] a^3+ab+a^2b+b^2 [/math]
che e' un polinomio senza monomi simili
Suggerimento: eseguita la moltiplicazione tra polinomi, prima di sommarne i monomi simili, verificare il numero dei monomi ottenuti, che sara' pari al prodotto del numero dei monomi del primo polinomio per il numero dei monomi del secondo.

ESEMPIO

[math] (a+b+c+d)(a+b+c) [/math]
e' il prodotto di un polinomio formato da 4 monomi e di uno formato da 3 monomi. Il risultato parziale (prima della somma dei monomi simili) sara' un polinomio di 4x3=12 monomi.
Metodi di scomposizione di un polinomio

Scomporre un polinomio vuol dire riscrivere la somma dei monomi come moltiplicazione tra polinomi di grado inferiore ovvero tra monomi e polinomi.

E' l'analogo calcolo che viene fatto con i numeri quando, ad esempio, riscriviamo
[math] 18 [/math]
come prodotto di
[math] 3^2 \cdot 2 [/math]

Raccoglimento a fattore comune

Altro non e' che l'applicazione della proprieta' distributiva

[math] a (b+c)= ab+ac [/math]

letta in senso contrario (e' un'uguaglianza, e in quanto tale puo' essere "letta" in entrambi i versi)

E dunque e' vero che
[math] ab+ac=a(b+c) [/math]

Quindi, una volta individuato il/i fattore/i comune/i, potremmo raccoglierlo ed esplicitarlo come fattore di un polinomio (ridotto)

ESEMPIO

[math] 4a^2b^2+2ab^3+6ab^2 [/math]

Ogni monomio presenta, come fattori comuni,
[math] 2 \ a \ b^2 [/math]
e pertanto potremo raccogliere
[math] 2ab^2 [/math]
e riscrivere il polinomio come somma dei monomi divisi per il fattore raccolto.
Il primo monomio, ad esempio, e'
[math] 4a^2b^2 [/math]
privato del fattore
[math] 2ab^2 [/math]
che pertanto rimarra'
[math] 2a [/math]
(infatti
[math] \frac{4a^2b^2}{2ab^2}=2a [/math]

E dunque, analogamente per gli altri monomi, otterremo

[math] 2ab^2 (2a+b+3) [/math]

Tale operazione trova applicazione delle scomposizioni in fattori primi, utili alle semplificazioni e al calcolo del mcm e MCD (vedi poi)

Raccoglimento a fattore parziale

E' un'operazione strettamente collegata al raccoglimento a fattore comune.
Tale operazione puo' essere effettuata solo su polinomi composti da un numero PARI di monomi.

Una volta raccolto un fattore (parzialmente comune a gruppi di monomi) si raccoglie (se esiste) ulteriormente il fattore comune.

ESEMPIO:

[math] 2x^2+x+2xy+y [/math]

E' un polinomio di 4 monomi, non esiste un fattore comune da poter raccogliere.

Proviamo a raccogliere per i primi 2 monomi x e tra i due successivi y.

Otterremo

[math] x(2x+1)+y(2x+1) [/math]

Abbiamo ora un fattore comune: esso e' 2x+1 che moltiplica sia il primo che il secondo monomio (rispettivamente x e y)

Raccogliamo il fattore comune e otteniamo

[math] (2x+1)(x+y) [/math]

Metodo di somma e prodotto

Si applica solo ai trinomi completi di secondo grado (ed e' di veloce intuizione solo per i trinomi a una variabile).

Consiste nel trovare i due valori che sommati diano il coefficiente del termine di primo grado e moltiplicati il termine noto.

Se il polinomio e' monico:

[math] x^2+sx+p [/math]
dove "s" e' la somma e "p" il prodotto di due valori y e z allora possiamo riscrivere il trinomio come
[math] (x+y)(x+z) [/math]

ESEMPIO

[math] x^2+5x+6 [/math]

I valori che sommati danno 5 e moltiplicati danno 6 sono 2 e 3, pertanto possimao riscrivere il polinomio come
[math] (x+2)(x+3) [/math]

Prodotti notevoli

Esistono alcuni prodotti, detti notevoli, di facile individuazione, utili alla scomposizione.

Differenza di quadrati

[math] (a+b)(a-b)=a^2-ab+ab-b^2=a^2-b^2 [/math]

ESEMPI

[math] 4a^2-b^4 [/math]
e' la differenza tra due quadrati
infatti

[math] (2a)^2 - (b^2)^2 [/math]
e pertanto potra' essere riscritta come
[math] (2a+b^2)(2a-b^2) [/math]
che e' un prodotto di due binomi di secondo grado anziche' un binomio di quarto.
Oppure

[math] 81x^4-y^4z^4 = (9x^2)^2-(y^2z^2)^2= (9x^2+y^2z^2)(9x^2-y^2z^2) [/math]

Abbiamo il prodotto di una somma di quadrati (che non e' mai riducibile) e di un'ulteriore differenza di quadrati.
Infatti:

[math] 9x^2-y^2z^2=(3x)^2-(yz)^2=(3x+yz)(3x-yz) [/math]

E dunque il polinomio iniziale potra' essere riscritto come

[math] (9x^2+y^2z^2)(3x+yz)(3x-yz) [/math]

Potenza di un binomio

Il quadrato:

Eseguiamo i calcoli

[math] (a+b)^2=(a+b)(a+b)=a^2+ab+ab+b^2=a^2+2ab+b^2 [/math]

E analogamente

[math] (a-b)^2=(a-b)(a-b)=a^2-2ab+b^2 [/math]

Dunque se ci troviamo davanti ad un trinomio, su cui non e' possibile effettuare raccoglimento a fattore comune (né ovviamente a fattore parziale dal momento che i monomi sono dispari) dovremo verificare se esistono 2 monomi che possano essere il quadrato di altri due monomi e, in caso affermativo, se il terzo monomio e' il prodotto di questi due monomi per 2 (doppio prodotto)

ESEMPIO

[math] 25x^2+y^4-10xy^2 [/math]

Notiamo che
[math] 25x^2=(5x)^2 [/math]
e che
[math] y^4=(y^2)^2 [/math]

Se il terzo monomio e' il doppio prodotto di questi due, abbiamo il caso di un quadrato del binomio.

[math] 2 \cdot 5x \cdot y^2=10xy^2 [/math]

e dunque allora il polinomio dell'esempio sara'

[math] (5x-y^2)^2 [/math]

Un altro esempio.

[math] a^2+4ab+16b^2 [/math]

Anche qui abbiamo il quadrato di a e di 4b, ma il terzo monomio non e' il doppio prodotto di questi due (che dovrebbe essere 8ab) e pertanto non abbiamo il quadrato di un binomio.

Analogamente si procede per le potenze superiori, i cui coefficienti sono determinati dal triangolo di Tartaglia

Attenzione ai segni! se si pensa che un polinomio possa essere espressione di una potenza del binomio:

se i segni sono tutti positivi, e i controlli ci portano allo sviluppo della potenza di un binomio, allora saremo nel caso di
[math] (a+b)^m [/math]

Se i segni sono tutti negativi, sara' sufficiente raccogliere a fattore comune il -1 (ovvero "raccogliere il segno meno") e verificare.

ESEMPIO:

[math] -x^2-2xy-y^2=-(x^2+2xy+y^2)=-(x+y)^2 [/math]

Se i segni sono sia positivi che negativi, una volta ordinato il polinomio, bisognera' assicurarsi che i segni + e - siano alternati.

Supposto noto il cubo del binomio:

[math] (a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3 [/math]

vediamo questo ESEMPIO

[math] x^3-3x^2-3x-1 [/math]

Il polinomio e' oridnato secondo le potenze di x (unica lettera)

Identificheremmo i monomi alla terza

[math] x^3 \ e 1=1^3 [/math]

Verifichiamo che gli altri due monomi corrispondano ai monomi previsti dal cubo del binomio (sono effettivamente
[math] 3x^2(1) [/math]
e
[math] 3x(1)^2 [/math]
).
Potremmo quindi trovarci davanti al caso di
[math] (x-1)^3 [/math]
, ma i segni non sono alternati (abbiamo +,-,-,-)
quindi non e' il cubo del binomio.

Comunque sia, in generale, per risalire alla potenza del binomio, occorrera' seguire i passi del seguente esempio

ESEMPIO

[math] a^3-27b^3+27ab^2-9a^2b [/math]

Scrivere il polinomio ordinato secondo una variabile (preferibilmente quella che presenta al grado massimo il segno +, nel caso "a")

[math] a^3-9a^2b+27ab^2-27b^3 [/math]

Controllare che, se esiste, l'altra parte letterale sia ordinata in senso opposto, automaticamente (b infatti, ordinando "a" secondo esponenti decrescenti, e' ordinata secondo esponenti crescenti).

Verificare che i segni siano o tutti positivi o alternati positivi e negativi (siamo nel secondo caso. I segni sono alternativamente + e -)

Identificare i due monomi di grado massimo (nel nostro caso
[math] a^3 [/math]
e
[math] 27b^3 [/math]
)
Riconoscerne quindi le basi (ovvero
[math] (a)^3 [/math]
e
[math] (3b)^3 [/math]

Controllare i restanti monomi che rispettino lo sviluppo della potenza del binomio

La soluzione dunque sara'
[math] (a-3b)^3 [/math]

Infine ricordiamo:

[math] (a^3-b^3)=(a-b)(a^2+ab+b^2) [/math]
e
[math] (a^3+b^3)=(a+b)(a^2-ab+b^2) [/math]

I trinomi di secondo grado sono detti entrambi "falsi quadrati" per la forte somiglianza con lo sviluppo del quadrato del binomio.
Queste quantita' mancano, come evidente, del doppio prodotto e non sono scomponibili.

Scomposizione di Ruffini

La scomposizione a mezzo della divisione di Ruffini permette di individuare un divisore del polinomio. una volta eseguita la divisione, dunque, otterremo un prodotto tra un binomio ed un polinomio di un grado inferiore a quello originario.

Per capire e' opportuno procedere con un paio di esempi.

Polinomio monico:

Dato il polinomio:
[math] p(x) x^4-3x^3-2x^2+12x-8 [/math]

Creiamo un insieme di tutti i fattori del termine noto:

[math] f: \{ \pm 1, \pm2, \pm 4, \pm 8 \} [/math]

Calcoliamo dunque il polinomio, sostituendo alla x ogni fattore, fino a trovare (se esiste) quello che annulla il polinomio

[math] p(1)=1^4-3-2+12-8= 0 [/math]

Dal momento che x=1 azzera il polinomio, vuol dire che il polinomio e' divisibile per (x-1) (che infatti per x=1 si azzera)

Impostiamo dunque la griglia per la divisione di Ruffini:

Sulla riga in alto mettiamo i coefficienti dei termini (ordinati) di x.
Inoltre mettiamo il valore che annulla il polinomio.

[math]\begin{array}{c|cccc|c}
& 1 & -3 & -2 & 12 & -8\\ & & & & \\ & & & & \\ 1 & & & \\ \hline
& & & &
\end{array}[/math]

A questo punto "abbassiamo" l'1

[math]\begin{array}{c|cccc|c}
& 1 & -3 & -2 & 12 & -8\\
& & & & \\
& & & & \\
1 & & & \\
\hline
& 1 & & &
\end{array}[/math]

Moltiplichiamo l'1 per il divisore (1) riportando il risultato sotto il termine successivo (il -3)

[math]\begin{array}{c|cccc|c}
& 1 & -3 & -2 & 12 & -8\\
& & & & \\
& & & & \\
1 & & 1 & \\
\hline
& 1 & & &
\end{array}[/math]

sommiamo i numeri in colonna

[math]\begin{array}{c|cccc|c}
& 1 & -3 & -2 & 12 & -8\\
& & & & \\
& & & & \\
1 & & 1 & \\
\hline
& 1 & -2 & &
\end{array}[/math]

rimoltiplichiamo -2 per 1 e procediamo analogamente fino alla fine.

[math]\begin{array}{c|cccc|c}
& 1 & -3 & -2 & 12 & -8\\
& & & & &\\
& & & & & \\
1 & & 1 & -2 & -4 & 8\\
\hline
& 1 & -2 & -4 & 8 & 0
\end{array}[/math]

Quello zero e' il resto. Dal momento che sapevamo che il polinomio era divisibile per (x-1), il resto che ci aspettavamo era proprio zero.

I valori elencati nella parte bassa della griglia, rappresentano i coefficienti ORDINATI del polinomio risultato della divisione.

8, pertanto, sara' il termine noto, -4 il coefficiente del termine di primo grado e cosi' via.

Il polinomio iniziale, dunque, potra' essere scritto come

[math] p(x)= (x-1)(x^3-2x^2-4x+8 ) [/math]

Il polinomio trovato puo' essere di nuovo scomposto con Ruffini.

I fattori saranno
[math] f: \{ \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm8 \} [/math]

il polinomio si annulla per x=2 (ad esempio)

[math]p(2)=0 [/math]

eseguiamo di nuovo la divisione di Ruffini e otteniamo:

[math]\begin{array}{c|ccc|c}
& 1 & -2 & -4 & 8\\
& & & & \\
& & & & \\
2 & & 2 & 0 & -8 \\
\hline
& 1 & 0 & -4 & 0
\end{array}[/math]

E dunque il polinomio sara'

[math] p(x)= (x-1)(x-2)(x^2-4) [/math]

[math]x^2-4=(x+2)(x-2) [/math]
(differenza di quadrati, vedi sopra)
[math] p(x)= (x-1)(x-2)(x+2)(x-2)=(x-1)(x-2)^2(x+2) [/math]

Vediamo un altro esempio:

[math] x^3-x^2y+2x^2+xy-3y^2 [/math]

Per poter eseguire la scomposizione di Ruffini, dal momento che si presentano piu' variabili, bisognera' sceglierne una.

Scegliamo la x (e pertanto y dovra' essere trattata come costante ovvero come fosse un numero)

Scriviamo il polinomio in modo ordinato rispetto alla x
[math] p(x)=x^3+(2-y)x^2+2x^2+xy-3y^2 [/math]

Il termine noto, dunque, sara'
[math]-3y^2 [/math]
ovvero la parte in cui x non compare.
i fattori saranno dunque

[math] f \{ \pm 1, \pm 3, \pm y, \pm 3y, \pm y^2, \pm 3y^2 \} [/math]

Sostituiamo come fatto in precedenza, fino a trovare il valore che annulla il polinomio.

Notiamo che y e' un valore di questi:

[math]p(y)=y^3+(2-y)y^2+yy-3y^2=0 [/math]

Eseguiamo la divisione di Ruffini

[math]\begin{array}{c|ccc|c}
& 1 & (2-y) & y & -3y^2\\
& & & & \\
& & & & \\
y & & y & 2y & 3y^2 \\
\hline
& 1 & 2 & 3y & 0
\end{array}[/math]

Pertanto il polinomio potra' essere scomposto in

[math] (x-y)(x^2+2x+3xy) [/math]

Errori piu' comuni:

se il polinomio non presenta tutti i termini, ricordarsi sempre di inserire zero dove il termine non c'e'.

Se vogliamo rappresentare nella Griglia di Ruffini i coefficienti del polinomio
[math] x^4+1 [/math]
i coefficienti saranno
[math] |1 \ 0 \ 0 \ 0 | 1 [/math]

Se il valore che annulla il polinomio e'
[math] a [/math]
allora il polinomio e' divisibile per
[math] x-a [/math]

Se il polinomio non e' monico, l'insieme dei fattori conterra', oltre ai fattori del termine noto, anche tutti i fattori del termine noto diviso i fattori del coefficiente di grado massimo.

ESEMPIO

[math] 4x^3-x-3 [/math]

L'insieme dei fattori sara'

[math] f \{\pm 1, \pm 3, \pm \frac{3}{2}, \pm \frac{3}{4} \} [/math]

Il polinomio si annulla per x=1, dunque la griglia di Ruffini sara'

[math]\begin{array}{c|ccc|c}
& 4 & 0 & -1 & -3\\
& & & & \\
& & & & \\
1 & & 4 & 4 & 3 \\
\hline
& 4 & 4 & 3 & 0
\end{array}[/math]

E dunque il polinomio scomposto sara':

[math] (x-1)(4x^2+4x+3) [/math]

Minimo comune multiplo tra polinomi

Come per i numeri e i monomi, al fine di calcolare il minimo comune multiplo tra due polinomi, e' necessario:

- scomporre i polinomi in fattori primi
- considerare i fattori comuni una sola volta con l'esponente maggiore con cui si presenta
- considerare i fattori non comuni presi ciascuno senza alcuna modifica

ESEMPIO

Calcolare il minimo comune multiplo tra:

[math] p(x)=4x^2+18x+9 [/math]

[math] q(x)=2x^2+3x [/math]

[math] r(x)=4x^4-9x^2 [/math]

[math] s(x)=-3-2x [/math]

Scomponiamo i quattro polinomi:

[math] p(x)=(2x+3)^2 [/math]
(quadrato di un binomio)
[math] q(x)=x(2x+3) [/math]
(raccoglimento a fattore comune (x))
[math] r(x)=x^2(4x^2-9)=x^2(2x+3)(2x-3) [/math]
(raccoglimento a fattore comune (x^2) e differenza di quadrati)
[math] s(x)=-(3+2x) [/math]
(raccoglimento a fattore comune (-1)
Notiamo che 3+2x e' uguale a 2x+3 (proprieta' commutativa)

Consideriamo i fattori comuni:

[math] x [/math]
(comune a q(x) e r(x)) dovra' essere preso una sola volta con esponente massimo (2)
[math] (2x+3) [/math]
(comune a p(x), q(x), r(x) e s(x)) dovra' essere preso una sola volta con esponente massimo (2)
Rimangono ancora i fattori (2x-3) e -1 rispettivamente solo si r(x) e s(x).

Il minimo comune multiplo sara' dunque

[math] x^2(2x+3)^2 \cdot(-1) \cdot (2x-3)=-x^2(2x-3)(2x+3)^2 [/math]

Massimo comune divisore

Analogamente a quanto previsto per il minimo comune multiplo, il MCD sara' composto dal prodotto di tutti i fattori comuni a tutti i polinomi, presi cuna sola volta con esponente piu' basso.

L'unico fattore comune a tutti e 4 i polinomi dell'esempio precedente e' (2x+3) che pertanto sara' il MCD.

Se non esiste alcun fattore comune, il MCD sara' 1 e i polinomi si diranno essere primi tra loro (cosi' come accade per i numeri)

Divisione tra polinomi

La divisione di un polinomio per un altro, si esegue (ovvero ha significato) se il polinomio divisore e' di grado non superiore al polinomio dividendo.

Il metodo di calcolo e' analogo a quanto previsto dalla divisione tra numeri.

ESEMPIO

[math] x^3+2x-1 : 2x+3 [/math]

Mettere in colonna l'operazione

[math] x^3+2x-1 | 2x+3 [/math]

Verificare "quante volte" il monomio di grado massimo del divisore (2x) sta nel monomio di grado massimo del dividendo (
[math] x^3 [/math]
)
[math] x^3 : 2x = \frac12 x^2 [/math]

Riportare il risultato nel campo del risultato

[math]\begin{array}{c|c}
x^3+2x-1 & 2x+3\\
\hline
& \frac12 x^2 \\
& \\
&
\end{array}[/math]

Moltiplicare il risultato ottenuto per il divisore

In caso di assenza di tutti i termini (ovvero se il polinomio non e' completo) si consiglia l'inserimento di 0 dove e' assente il grado della variabile

[math]\begin{array}{c|c}
x^3+0+2x-1 & 2x+3\\
\hline
& \frac12 x^2 \\
x^3+ \frac32x^2 & \\
&
\end{array}[/math]

Eseguire dunque la sottrazione tra il dividendo e
[math] x^3+ \frac32 x^2 [/math]

[math]\begin{array}{c|c}
x^3+0+2x-1 & 2x+3\\
\hline
& \frac12 x^2 \\
x^3+ \frac32x^2 & \\
\hline
0+ \frac32 x^2+2x-1 & \\
\end{array}[/math]

Ripetere da principio, dividendo il risultato della differenza per il divisore (sempre considerando SOLO le variabili con esponente piu' alto)

[math] \frac32 x^2 : 2x = \frac34x [/math]

[math]\begin{array}{c|c}
x^3+0+2x-1 & 2x+3\\
\hline
& \frac12 x^2+ \frac34x \\
x^3+ \frac32x^2 & \\
\hline
0+ \frac32 x^2+2x-1 & \\
\end{array}[/math]

Moltiplicare dunque
[math] \frac34x [/math]
per il divisore
[math] 2x+3 [/math]
e riportare il risultato della moltiplicazione, opportunamente incolonnato, sotto il nuovo divisore
[math]\begin{array}{c|c}
x^3+0+2x-1 & 2x+3\\
\hline
& \frac12 x^2 + \frac34 x\\
x^3+ \frac32x^2 & \\
\hline
0+ \frac32 x^2+2x-1 & \\
\ \ \frac32 x^2 \frac94 x & \\
\end{array}[/math]

Eseguire nuovamente la differenza e continuare fino a quando il nuovo divisore non sara' di grado inferiore al dividendo (nell'esempio, quando dunque il risultato della differenza sara' di grado zero (ovvero un numero))

[math]\begin{array}{c|c}
x^3+0+2x-1 & 2x+3\\
\hline
& \frac12 x^2 + \frac34 x - \frac18\\
x^3+ \frac32x^2 & \\
\hline
0+ \frac32 x^2+2x-1 & \\
\ \ \frac32 x^2 \frac94 x & \\
\hline
\ \ \ \ - \frac14 x -1 \\
\ \ \ \ - \frac14 x - \frac38 \\
\hline
\ \ \ \ \ \ \ - \frac58
\end{array}[/math]

Pertanto il risultato della divisione sara'
[math] \frac12 x^2 + \frac34 x - \frac18 [/math]
con il Resto di
[math] - \frac58 [/math]

Se il resto e' Zero significa che il polinomio dividendo e' multiplo del divisore.

Se si esegue in colonna, ad esempio, una divisione secondo i metodi di scomposizione di Ruffini, si otterra' resto zero.

Suggerimento: se la divisione viene eseguita correttamente, al momento della sottrazione il termine di grado massimo scompare progressivamente.

Nell'esempio, dopo la prima divisione parziale, il termine di terzo grado scompare. Significa che effettivamente il primo monomio del divisore e' stato calcolato correttamente.

Al fine di verificare il corretto calcolo della divisione, il prodotto del risultato per il dividendo (a cui andra' aggiunto l'eventuale resto) dovra' ridare il dividendo.

Nell'esempio:

[math] ( \frac12 x^2+ \frac34 x- \frac18 )(2x+3) + (- \frac58) [/math]
dovra' dare come risultato
[math] x^3+2x-1 [/math]

Detto
[math] p(x) [/math]
il dividendo,
[math] d(x) [/math]
il divisore,
[math] q(x) [/math]
il risultato (che e' detto quoto se non vi e' resto o quoziente se esiste il resto) e
[math] r(x) [/math]
il resto, e' vero infatti che
[math] p(x)=d(x) \cdot q(x) + r(x) [/math]

Anche qui, nulla di nuovo, dal momento che se eseguiamo una divisione tra numeri nell'insieme dei numeri Naturali, la proprieta' e' la medesima:

ESEMPIO

14 : 3 =4 Resto 2

4 x 3 + 2 = 14
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