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MONOMI

Premessa
Un monomio e' una moltiplicazione tra un numero (coefficiente) ed una parte letterale.

[math] 3 \cdot a \cdot b^3 \cdot c^2 [/math]

L'operatore

[math] \cdot [/math]
nella rappresentazione di un monomio, si omette.

ESEMPIO:

[math] 12ab^2c [/math]

E' un monomio composto dal coefficiente

[math] 12 [/math]
e dalla parte letterale
[math] ab^2c [/math]

Trattandosi di moltiplicazione, ricordando che 1 e' l'elemento neutro della moltiplicazione (ovvero tutte le quantita' moltiplicate per 1 non variano) quando il coefficiente e' 1, si omette.
Analogamente quando il coefficiente e'

[math] -1 [/math]
si indichera' solo il segno meno.

ESEMPIO:

[math] x^2z [/math]
e' un monomio avente coefficiente 1

[math] -k^3 [/math]
e' un monomio avente coefficiente -1

Monomi simili

Si definiscono simili i monomi aventi identica parte letterale.

ESEMPIO:

[math] 4x^2yz^3 [/math]
e
[math] -x^2yz^3 [/math]
sono simili

[math] 3ab^2 [/math]
e
[math] 4a^2b [/math]
non sono simili, dal momento che, nonostante presentino le medesime lettere, gli esponenti differiscono rendendo le parti letterali diverse.

Grado di un monomio

Il grado di un monomio e' dato dalla somma degli esponenti

Si ricordi che, dove non indicato, l'esponente e' pari a 1

ESEMPIO

[math] a [/math]
e' un monomio di primo grado (a e' elevata alla 1)

[math] 5kh^2j^5 [/math]
e' un monomio di 8 grado (ovvero la somma di 1 (esponente di k), 2 (esponente di h) e 5 (esponente di j)

Grado parziale di un monomio

Si parla di grado parziale, quando il grado e' espresso rispetto ad una porzione della parte letterale.

ESEMPIO

[math] 4a^3b^2 [/math]
e' un monomio di grado complessivo 5, di terzo grado rispetto ad a e di secondo grado rispetto a b

[math] 2xy^2 [/math]
e
[math] 3x^2y^2 [/math]
sono entrambi monomi di secondo grado rispetto a y

Prodotto di monomi

Il prodotto tra monomi e' sempre possibile.

Per moltiplicare due o piu' monomi si moltiplicano i coefficienti e le lettere uguali.

Si Ricordi che

[math] a^m \cdot a^n =a^{(m+n)} [/math]

ESEMPIO

[math] 3a^2b \cdot 2 ab^3c^2 = 6 a^3b^4c^2 [/math]

(ricordando che un monomio e' un prodotto, infatti

[math] 3 \cdot a^2 \cdot b \cdot 2 \cdot a \cdot b^3 \cdot c^2 [/math]

e che pertanto:
- vale la proprieta' commutativa, possiamo cambiare l'ordine dei fattori

[math] 3 \cdot 2 \cdot a^2 \cdot a \cdot b \cdot b^3 \cdot c^2 [/math]

- vale la proprieta' associativa

[math] (3 \cdot 2) \cdot (a^2 \cdot a) \cdot (b \cdot b^3) \cdot c^2 [/math]

Divisione tra monomi

Non dimentichiamo che la divisione, in verita', e' un particolare tipo di moltiplicazione.

E' infatti vero che

[math] \frac{a}{b} = a \cdot \frac{1}{b}= a \cdot b^{(-1)} [/math]

Pertanto anche la divisione e' sempre possibile, con le stesse modalita' di calcolo della moltiplicazione.

Ricordando che

[math] \frac{a^m}{a^n}=a^{(m-n)} [/math]
eseguiremo le divisioni.

ESEMPIO

[math] 4xy^3 : 8x^2y^2 = \\ \frac{4}{8} \cdot \frac{x}{x^2} \cdot \frac{y^3}{y^2} = \frac12 \cdot x^{(1-2)} \cdot y^{(3-2)} = \frac12 x^{-1} y^1 = \frac{y}{2x} [/math]

Metodo mnemonico:

Si valutano gli esponenti di ogni singola lettera: se l'esponente maggiore e' al numeratore (dividendo) si sottrae l'esponente del denominatore (divisore) a quello del numeratore, e il risultato rimane al numeratore

Altrimenti si sottrae a quello del denominatore, quello del numeratore, e il risultato rimane al denominatore

ESEMPIO

[math] \frac{9a^3b}{3a^2b^4c} [/math]

la lettera a ha esponente maggiore al numeratore. Pertanto la lettera rimarra' al numeratore con esponente (3-2)

la lettera b ha esponente maggiore al denominatore, pertanto rimarra' al denominatore con esponente (4-1)

la lettera c compare solo al denominatore, e rimane com'e'

Pertanto il risultato sara'

[math] \frac{3a}{b^3c} [/math]

Elevamento a potenza di un monomio

Ricordiamo due proprieta' dell'elevamento a potenza:

[math] (a^m)^n=a^{m \cdot n} [/math]

e

[math] (ab)^m=a^m b^m [/math]
(proprieta' distributiva del fattore rispetto al prodotto)

Per elevare a potenza un monomio, quindi, e' sufficiente elevare a quella potenza ogni singolo fattore (compreso il coefficiente!)

ESEMPIO

[math] (2ab^2c^3)^2=2^2(a)^2(b^2)^2(c^3)^2=4a^2b^4c^6 [/math]

radice di un monomio

La radice e' un particolare tipo di elevamento a potenza. Infatti

[math] \sqrt[n]{a}=a^{ \frac{1}{n}} [/math]

e pertanto si procedera' come per l'elevamento a potenza, avvalendosi della proprieta' distributiva

ESEMPIO

[math] \sqrt[3]{8a^3b^6c^2}= \sqrt[3]{8} \sqrt[3]{a^3} \sqrt[3]{b^6} \sqrt[3]{c^2} [/math]

e pertanto

[math] 2 a^{ \frac33}b^{\frac63}c^{\frac23}=2ab^2c^{\frac23}=2ab^2 \sqrt[3]{c^2} [/math]

Minimo comune mutliplo tra monomi

Si ricordi che per trovare il minimo comune multiplo tra due cifre e' necessario:
- scomporre in fattori primi le cifre
- considerare ogni singolo fattore una sola volta, con esponente maggiore.

La parte letterale del monomio e' gia' espressa come prodotto di fattori primi.

Pertanto sara' sufficiente scomporre il coefficiente e procedere come per il mcm tra numeri

ESEMPIO

Trovare il mcm tra

[math] 6a^3b^2c [/math]
e
[math] 4a^2b^2c^2d^2 [/math]

Scomponiamo i coefficienti

[math] 2 \cdot 3a^3b^2c [/math]
e
[math] 2^2a^2b^2c^2d^2 [/math]

Prendiamo ogni coefficiente, una sola volta e con esponente maggiore

[math] 2^2 \cdot 3 a^3b^2c^2d^2 = 12a^3b^2c^2d^2 [/math]

Massimo comune divisore

analogamente a quanto spiegato per il mcm, il MCD e', appunto, il divisore massimo comune a tutti i monomi interessati al calcolo.

Si procede come per il mcm ma si prendono i fattori presenti in TUTTI i monomi con esponente minore.

Nell'esempio sopra, quindi, il MCD sara'

[math] 2 a^2b^2c [/math]

(non si considera, ad esempio, la "d", dal momento che compare solo nel secondo monomio, ma non nel primo)

Anche per i monomi, se il MCD e' 1, si dice che i monomi sono primi tra loro

Somma e differenza di monomi

La somma (e la differenza) tra monomi e' possibile solo se i monomi sono simili.

In termini semplicistici, si ragioni cosi':

sommare due monomi e' come sommare oggetti analoghi: se si dovessero, ad esempio, sommare 8 penne e 16 penne, banalmente (e logicamente) il risultato sarebbe 24 penne.

La parte letterale del monomio dev'essere considerata allo stesso modo delle "penne".

Pertanto

[math] 3ab^2 + 5ab^2 [/math]
dev'essere inteso come sommare 3 e 5 volte lo stesso oggetto (la parte letterale). Pertanto il risultato sara'
[math] 8 ab^2 [/math]

Sommare monomi non simili sarebbe come sommare penne e matite (o penne rosse e penne blu). Che ovviamente non ha significato.

Nel caso di somma di piu' monomi, quindi, andranno sommati/sottratti solo i monomi simili

ESEMPIO

[math] 2a^2b-5ab^2-a^2b+3ab^2 [/math]

i monomi sono simili a due a due (rispettivamente con parte letterale

[math] a^2b [/math]
e
[math] ab^2 [/math]
)

Quindi sommeremo

[math] 2a^2b-a^2b = a^2b [/math]
e
[math] -5ab^2+3ab^2=-2ab^2 [/math]
ricordando di lasciare invariata la parte letterale.

il risultato sara' dunque

[math] a^2b-2ab^2 [/math]

si consiglia, in caso di presenza di un numero elevato di monomi da sommare/sottrarre, di identificare preventivamente i monomi simili, segnandoli con un simbolo uguale.

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