TEOREMA DEL RESTO: Dato un polinomio

[math]P(x)[/math]
di grado ›1 ed un polinomio di grado 1 del tipo
[math]x-a[/math]
, si ha che il resto della divisione tra i due polinomi è dato da
[math]R=P(a)[/math]
.


TEOREMA DI RUFFINI: Dato un polinomio

[math]P(x)[/math]
di grado ›1 ed un polinomio di grado 1 del tipo
[math]x-a[/math]
, questi divide il polinomio
[math]P(x)[/math]
se e solo se
[math]P(a)=0[/math]
.


SCOMPORRE UN POLINOMIO IN FATTORI: Significa trasformare, se è possibile, il polinomio nel prodotto di due o più polinomi a coefficienti razionale di grado maggiore di zero e inferiore a n, grado del polinomio originale.

SCOMPOSIZIONE TOTALE: Consiste nello scrivere il polinomio dato, come prodotto di un fattore comune a tutti i termini del polinomio per il quoziente che si ottiene dividendo il polinomio dato per questo fattore comune. (In generale il fattore comune è il M.C.D. dei termini del polinomio stesso.)

SCOMPOSIZIONE PARZIALE: Si effettuano dei raccoglimenti a fattore comune tra gruppi di termini del polinomio dato, in modo che sia possibile effettuare successivamente un raccoglimento a fattore comune totale

PRODOTTI NOTEVOLI: La scomposizione mediante i prodotti notevoli si effettua riconoscendo nei polinomi il prodotto notevole di partenza:
1. La differenza di due quadrati, si scompone moltiplicando la somma delle basi per la differenza delle basi:

[math]a^2-b^2=(a-b)(a+b)[/math]
;
2. La differenza di due cubi, si scompone moltiplicando la differenza delle basi per il polinomio dato dal quadrato del primo termine, più il prodotto del primo per il secondo, più il quadrato del secondo:
[math]a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)[/math]
;
3. La somma di due cubi, si scompone moltiplicando la somma delle basi per il polinomio dato dal quadrato del primo termine, meno il prodotto del primo per il secondo, più il quadrato del secondo:
[math]a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)[/math]
;
4. Il quadrato di un binomio, si riconosce quando nel trinomio compaiono due quadrati e il doppio prodotto delle basi:
[math]a^2\pm 2ab+b^2=(a\pm b)^2[/math]
;
5. Il trinomio particolare, si scompone individuando due numeri che moltiplicati diano il termine noto, e sommati diano il coefficiente dell’incognita di primo grado. Il trinomio particolare si riconosce poiché il coefficiente dell’incognita al quadrato è 1:

[math]x^2+sx+p,\quad p=ab,\ s=a+b\ \Rightarrow\ (x+a)(x+b).[/math]

6. Il cubo di un binomio si riconosce quando il polinomio è un quadrinomio formato da due cubi e dal triplo prodotte del quadrato del primo per il secondo, più il triplo prodotto del primo per il quadrato del secondo:
[math]a^3\pm 3a^2b+3ab^2\pm b^3=(a\pm b)^3[/math]
.


FRAZIONE ALGEBRICA: Assegnati due polinomi A e B, con B non nullo, chiamiamo frazione algebrica l’espressione letterale A/B dove A è il numeratore e B il denominatore.

SOMMA ALGEBRICA: La somma algebrica di due o più frazioni algebriche, semplificate e ridotte allo stesso denominatore, è una frazione algebrica che ha per denominatore il denominatore comune e per numeratori la somma algebrica dei numeratori.

SEMPLIFICAZIONE DI UNA FRAZIONE ALGEBRICA: La semplificazione di una frazione algebrica si ottiene dividendo numeratore e denominatore per uno stesso polinomio, diverso da 0.

RIDUZIONE DI FRAZIONE ALGEBRICHE ALLO STESSO DENOMINATORE: La riduzione di frazione algebrica allo stesso denominatore si ottiene:
1. scomponendo i termini delle frazioni (se è possibile semplificando);
2. si determina il m.c.m. dei denominatori;
3. si divide il minimo comune multiplo per il denominatore e il risultato ottenuto si moltiplica per il rispettivo numeratore;

4. le frazione trasformate hanno tutte lo stesso minimo comune multiplo e come numeratore i polinomi ottenuto precedentemente.

DOMINIO: Sono quei numeri che non annullano il denominatore.

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