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Potenze e proprietà delle potenze


La potenza

[math]b[/math]
di un numero
[math]n[/math]
è un numero della forma
[math]b = n^a[/math]
dove
[math]n[/math]
è la base della potenza e può essere un qualsiasi numero reale;
[math]a[/math]
è l'esponente della potenza ed è, generalmente, un numero intero e positivo;
[math]b[/math]
è il risultato, o potenza, e si calcola moltiplicando
[math]n[/math]
per se stesso tante volte quanto dice l'esponente, cioè

[math]b=\underbrace{n\cdot n\cdot\ldots\cdot n}_{a-\textrm{volte}}[/math]


Attenzione! Abbiamo detto che

[math]n[/math]
è un numero reale qualsiasi, perciò può essere positivo o negativo, intero o razionale, irrazionale o complesso e così via. Pertanto è bene conoscere come si eseguono le operazioni fra i diversi tipi di numeri citati.

In generale, bisogna prestare la massima attenzione al segno di

[math]n[/math]
e a due particolari numeri, 0 e 1.
Infatti il maggior numero di errori compiuti riguardano distrazioni sul segno e poca attenzione nei confronti dei suddetti numeri.
Vediamo nel dettaglio di cosa stiamo parlando.

1 - Attenzione al segno di n

2^3 = (+2)^3 = (+2) × (+2) × (+2) = +8
-2^3 = - (2^3) = - (+8 ) = -8
-2^4 = - (2^4) = - [(+2) × (+2) × (+2) × (+2)] = - (+16) = -16
(-2)^3 = (-2) × (-2) × (-2) = -8
(-2)^4 = (-2) × (-2) × (-2) × (-2) = +16

Dunque, in generale:

[math]
-n^a = - (n^a)\\
(-n)^a = (-n)×(-n)×...×(-n) = + (n^a) \qquad a\ \textrm{pari}\\
(-n)^a = (-n)×(-n)×...×(-n) = - (n^a) \qquad a\ \textrm{dispari}[/math]

NB: Di fondo vi è la conoscenza della moltiplicazione dei segni.
Il prodotto di segni concordi è +

[math]({+} × {+} = {+}, {-} × {-} = {+})[/math]
.
Il prodotto di segni discordi è -
[math]({+} × {-} = {-}, {-} × {+} = {-})[/math]

2 - Attenzione a quei due!

[math]0^0\ \textrm{forma indeterminata;}\\
0^1 = 0;\\
0^a = 0;\\

1^0 = 1;\\
1^1 = 1;\\
1^a = 1;\\

a^0 = 1;\\
a^1 = a.[/math]

Le potenze, quindi, sono dei numeri e, come tali, possono essere sommati algebricamente (addizionati e sottratti), moltiplicati, divisi, elevati a potenza, ecc.

Somma e sottrazione di potenze implicano che le potenze debbano essere svolte, a meno che non siano potenze particolari, come, ad esempio, una potenza con esponente 0.
Lo stesso vale per prodotto e rapporto; quando però le basi o gli esponenti sono uguali, possiamo applicare le seguenti proprietà fondamentali (che, ribadiamo, valgono esclusivamente per il prodotto ed il rapporto di potenze) ed evitare così il calcolo della potenza. Vediamole.

[math]▪ (a^b) × (a^c) = a^{b+c}\\
▪ (a^b) ÷ (a^c) = a^{b-c}\\
▪ (b^a) × (c^a) = (b×c)^a\\
▪ (b^a) ÷ (c^a) = (b÷c)^a[/math]

Esempi:

[math](3^2) × (3^5) = 3^{2+5} = 3^7\\
(5^7) ÷ (5^6) = 5^{7-6} = 5\\
(2^5) × (3^5) = (2×3)^5 = 6^5\\
(9^2) ÷ (3^2) = (9÷3)^2 = 3^2[/math]

Abbiamo poi la potenza di potenza:

[math]▪ (a^b)^c = a^{b×c}[/math]

Esempi:

[math] (3^2)^4 = 3^{2×4} = 3^8\\
[(4^3)^2]^6 = 4^{3×2×6} = 4^{36}[/math]

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