lucao93
lucao93 - Ominide - 5 Punti
Salva
studio di funzione y=2x/x'2-1 ' =elevato alla

Aggiunto 23 ore 20 minuti più tardi:

sisi e qll.
BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
Salva
Ma la funzione e'

[math] y= \frac{2x}{x^2-1} [/math]

??? Dammi conferma, please

Aggiunto 19 ore 55 minuti più tardi:

DOMINIO:

Funzione fratta, pertanto unica limitazione sul dominio sara' data dal denominatore diverso da zero.

[math] x^2-1 \ne 0 \to (x+1)(x-1) \ne 0 \to x \ne \pm 1 [/math]

FUNZIONE PARI/DISPARI O NESSUNA DELLE PRECEDENTI

[math] f(-x)= \frac{2(-x)}{(-x)^2-1}= - \frac{2x}{x^2-1} = -f(x) [/math]

La funzione e' dispari, ovvero e' simmetrica rispetto all'origine: questo significa che la funzione, studiata da 0 a +infinito, ci da' l'andamento della funzione da -infinito a zero, che sara' appunto simmetrica rispetto all'origine.

Non so se avete fatto le funzioni dispari, pertanto te la studio comunque tutta.

INTERSEZIONE CON GLI ASSI:

Asse y (equazione x=0)

[math] \{ x=0 \\ y=0 [/math]

La funzione passa per l'origine. Infatti tutte le funzioni dispari che abbiano x=0 accettabile nel dominio, passano per l'origine.

[math] \{y=0 \\ 0= \frac{2x}{x^2-1} [/math]

E dunque

[math] 2x=0 \to x=0 [/math]

Pertanto la funzione interseca gli assi solo nell'origine.

POSITIVITA'

[math] \frac{2x}{x^2-1}>0 [/math]

Numeratore > 0 per 2x>0 ovvero x>0
Denominatore > 0 per (x-1)(x+1)>0 ovvero x<-1 U x>1

Pertanto la funzione sara' positiva (soluzione finale della disequazione) per

[math] -1<x<0 \ U \ x>1 [/math]

Aggiunto 5 minuti più tardi:

Anche la positivita' e' espressione del fatto che la funzione e' dispari. Infatti da 0 a infinito dove la funzone e' positiva (ovvero sta "sopra" l'asse x) prima di zero sta sotto e viceveresa.

STUDIO DELLA FUNZIONE NEI PUNTI DI DISCONTINUITA':

[math] \lim_{x \to 1^{+}} \frac{2x}{(x+1)(x-1)}= \frac{2}{2(0^+)}= \frac{2}{0^+}= + \infty [/math]

[math] \lim_{x \to 1^{-}} \frac{2x}{(x+1)(x-1)}= \frac{2}{2(0^-)}= \frac{2}{0^-}= - \infty [/math]

E simmetricamente rispetto all'origine

[math] \lim_{x \to -1^{+}} \frac{2x}{(x+1)(x-1)}= \frac{2}{(0^+)\cdot (-2)}= \frac{2}{-0^+}= - \infty [/math]

[math] \lim_{x \to -1^{-}} \frac{2x}{(x+1)(x-1)}= \frac{2}{(0^-)\cdot (-2)}= \frac{2}{-0^-}= + \infty [/math]

Aggiunto 3 minuti più tardi:

COMPORTAMENTO ALL'INFINITO:

[math] \lim_{x \to + \infty} \frac{2x}{x^2-1}= \\ \lim_{x \to + \infty} \frac{2 \no{x}}{x^{\no{2}}(1- \no{\frac{1}{x^2}}^0} = 0^+ [/math]

Pertanto esiste un asintoto orizzontale a + infinito di equazione y=0

Per simmetria (a te la possibilita' di verificarlo) a -infinito la funzione tendera' a 0- e quindi y=0 sara' asintoto orizzontale anche "a sinistra"

Aggiunto 16 minuti più tardi:

STUDIO DELLA DERIVATA PRIMA:

[math] y'= \frac{2(x^2-1)-2x(2x)}{(x^2-1)^2} = \frac{2x^2-2-4x^2}{(x^2-1)^2} = \frac{-2(x^2+1)}{(x^2-1)^2} [/math]

Il numeratore e' sempre negativo (x^2+1 e' decomponibile e ha delta<0 pertanto sempre positivo, moltiplicato per -2 restituisce un valore sempre negativo)

Il denominatore e' un quadrato pertanto nel dominio sempre positivo.

Pertanto la derivata prima e' sempre negativa e non si annulla mai.

Non esistono pertanto ne' massimi ne' minimi e la funzione e' sempre decrescente

STUDIO DELLA DERIVATA SECONDA

[math] y''= \frac{-4x(x^2-1)^2-(-2x^2-2)(2(x^2-1))(2x)}{(x^2-1)^4} = \\ = \frac{\no{(x^2-1)}(4x(x^2+3))}{(x^2-1)^{\no{4}^3}[/math]

(Ho raccolto x^2-1 prima di eseguire i conti)

e dunque

[math] y''= \frac{4x(x^2+3)}{(x^2-1)^3 [/math]

Un fattore del numeratore e' sempre maggiore di zero (x^2+3 e' un quadrato a cui aggiungi 3 quindi sempre positivo)

Pertanto N>0 per x>0
Denominatore maggiore di zero per x<-1 U x>1

E dunque la derivata seconda sara' positiva in -1<x<0 e per x>1 intervalli in cui avra' concavita' verso l'alto) e si annullera' in x=0 dove pertanto avremo un punto di flesso a tangente orizzontale.

Ora hai tutti gli elementi per disegnare la funzione :)
Questo topic è bloccato, non sono ammesse altre risposte.
Come guadagno Punti nel Forum? Leggi la guida completa
In evidenza
Classifica Mensile
Vincitori di novembre
Vincitori di novembre

Come partecipare? | Classifica Community

Community Live

Partecipa alla Community e scala la classifica

Vai al Forum | Invia appunti | Vai alla classifica

Tony83

Tony83 Tutor 23786 Punti

VIP
Registrati via email