ginevra87
ginevra87 - Ominide - 46 Punti
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ciao a tutti!
non riesco a capire come si fà la verifica di questo limite con la definizione di limite:
[math]\lim_{x\to1^-} \ \ \ \frac{x}{x-1}=-\infty[/math]
.

Aggiunto 15 ore 37 minuti più tardi:

grazie per avermi risposto.
ma non ho capito bene il seguente passaggio:
[math]x<-M(x-1)-->x>\frac{M}{M-1}[/math]
aleio1
aleio1 - Mito - 18949 Punti
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[math]\lim_{x\to x_0}f(x)=-\infty [/math]


[math]\Updownarrow [/math]

[math]\forall M>0 \ \ \exists \delta>0 : \ \ \forall x, \ 0<|x-x_0|<\delta \ \ |f(x)|<-M[/math]

Tecnicamente ci basta considerare la funzione in un intorno sinistro di
[math]1[/math]
,
[math](1-\rho;1)[/math]
e quindi richiedere che per ogni
[math]M[/math]
grande a piacere esista un
[math]\delta[/math]
tale che per ogni
[math]x[/math]
che dista da
[math]1[/math]
meno di
[math]\delta[/math]
si abbia che il corrispondente
[math]f(x)[/math]
sia più piccolo di
[math]-M[/math]

Quindi fissiamo un
[math]M>0[/math]
grande a piacere. Bisognerà trovare un
[math]\delta>0[/math]
in funzione di
[math]M[/math]
che verifichi quelle proprietà ovvero in particolare deve essere
[math]\frac{x}{x-1}<-M\rightarrow x<-M(x-1)\rightarrow x>\frac M{M-1}\rightarrow x-1>\frac1{M-1}[/math]

Dunque basterà prendere
[math]\delta=-\frac{1}{M-1}=\frac1{1-M}[/math]
ed il limite è verificato.
Aggiunto 1 minuti più tardi:

Il passaggio che ho fatto è solo algebrico..basta svolgere il prodotto al secondo membro e poi raccogliere la
[math]x[/math]
.
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