Incognita X
Incognita X - Sapiens Sapiens - 1643 Punti
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Ciao. Ho alcuni problemi riguardo la verifica dei limiti.

1) Quando una funzione diverge a
[math]-\infty[/math]
, per verificare il limite devo risolvere la disequazione
[math]f(x)<M[/math]
oppure
[math]f(x)<-M[/math]
o è la stessa cosa, dato che M può essere un numero piccolo a piacere?
2) Ho il seguente limite:

[math]lim_{x \rightarrow \infty}(\frac{\sin n}{n+1})=0[/math]

Poiché la funzione converge a 0, allora devo svolgere la seguente disequazione:

[math]|\frac{\sin n}{n+1}|<\epsilon[/math]

Cioè il sistema di disequazioni:

[math]\frac{\sin n}{n+1}<\epsilon[/math]

e

[math]\frac{\sin n}{n+1}>-\epsilon[/math]

Ma la funzione sin mi dà un po' di difficoltà. Come potrei verificare tale limite?
xico87
xico87 - Mito - 28236 Punti
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"arbitrario" non equivale a "piccolo".. significa semplicemente un numero qualsiasi, grande o piccolo a piacere.
però è ovvia una cosa: se f tende a +/- infinito allora per la verifica usi dire che |f| > M, con M € R arbitrario; in questo caso si intende dire che prendi M grande (a piacere), perchè vuoi dimostrare che f è sempre più grande di un numero finito (grande) a piacere, qualunque sia la scelta di M, nell'opportuno intorno U di x. per un numero piccolo si dà per scontato che valga la disuguaglianza.
quindi, in generale, epsilon = numero piccolo (positivo) a piacere, mentre M = numero grande (positivo) a piacere.

per quella funzione (non mi è chiaro se è una successione, ma non ha importanza), anzichè tentare di esplicitare la x, ti consiglio di cercare un particolare minorante e un particolare maggiorante del seno e vedere che sono rispettivamente maggiore di -eps(n+1) e minore di eps(n+1), per qualsiasi valore, grande o piccolo, di epsilon
Incognita X
Incognita X - Sapiens Sapiens - 1643 Punti
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xico87: "arbitrario" non equivale a "piccolo".. significa semplicemente un numero qualsiasi, grande o piccolo a piacere.

Bé, la differenza tra grande e piccolo è soggettiva... quindi dire piccolo a piacere (o grande a piacere) è come dire "arbitrario" secondo me. :)


xico87: però è ovvia una cosa: se f tende a +/- infinito allora per la verifica usi dire che |f| > M, con M € R arbitrario; in questo caso si intende dire che prendi M grande (a piacere), perchè vuoi dimostrare che f è sempre più grande di un numero finito (grande) a piacere, qualunque sia la scelta di M, nell'opportuno intorno U di x. per un numero piccolo si dà per scontato che valga la disuguaglianza.
quindi, in generale, epsilon = numero piccolo (positivo) a piacere, mentre M = numero grande (positivo) a piacere.

Ho capito, grazie.

xico87: per quella funzione (non mi è chiaro se è una successione, ma non ha importanza), anzichè tentare di esplicitare la x, ti consiglio di cercare un particolare minorante e un particolare maggiorante del seno e vedere che sono rispettivamente maggiore di -eps(n+1) e minore di eps(n+1), per qualsiasi valore, grande o piccolo, di epsilon

Sì, dovrebbe essere una successione. Però la verifica di un limite non distingue tra successioni o funzioni... almeno credo. Non devo svolgere le due disequazioni quindi? Se volessi svolgerle, come dovrei fare?
xico87
xico87 - Mito - 28236 Punti
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sai che -1 <= sen(n) <= 1

dimostra che -eps(n+1) < -1 e eps(n+1) > 1 per ogni epsilon.. anche se ormai è evidente. se verifichi ciò allora è vera la doppia disuguaglianza -eps(n+1) < sen(n) < eps(n+1)
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xico87: sai che -1 <= sen(n) <= 1

dimostra che -eps(n+1) < -1 e eps(n+1) > 1 per ogni epsilon.. anche se ormai è evidente. se verifichi ciò allora è vera la doppia disuguaglianza -eps(n+1) < sen(n) < eps(n+1)

Quindi non devo ricavare n? Perché io avevo provato con arcsin...
xico87
xico87 - Mito - 28236 Punti
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..e immagino che tu non sia riuscito ad esplicitare la n (infatti non si può)
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xico87: ..e immagino che tu non sia riuscito ad esplicitare la n (infatti non si può)

Esatto... :asd
adry105
adry105 - Genius - 3918 Punti
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Comunque sen(n) è compreso tra -1 e 1 senza gli uguali =D Perchè nell'insieme dei numeri naturali non è compreso il π/2 e 3/2π =P
xico87
xico87 - Mito - 28236 Punti
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è facoltativo. per farti un esempio, 2 <= 3 è sempre vera, anche se giustamente potevo mettere la relazione in senso stretto
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