Freiheit16
Freiheit16 - Erectus - 82 Punti
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Potreste aiutarmi a capire il procedimento? Grazie mille

1) Dimostrare, per induzione completa, i valori delle seguenti somme:

a) cosx*cos2x*cos4x*.....cos2^(n-1)* x = [sin2^(n) * x] / [2^(n)* sinx] con sinx diverso da 0

b) 1*2 + 2*2^(2) + 3*2^(3)+ .......+ n*2^(n) = (n-1)* 2^(n+1) + 2
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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Seppur mi faccia specie che si studi l'induzione completa al liceo (anche se scientifico) cercherò di darti una mano dimostrando la prima tesi e lasciandoti per esercizio la seconda invitandoti a seguire la tecnica risolutiva che ora ti vado ad esporre.

Dunque, vogliamo dimostrare che per tutti i naturali
[math]n[/math]
vale che
[math]\cos x \cdot \cos 2x \cdot \cos 4x \cdots \cos\left(2^{n-1}\cdot x\right) = \frac{\sin\left(2^n \cdot x\right)}{2^n \cdot \sin x}\\[/math]
.
Base dell'induzione:
L'uguaglianza è sicuramente vera per
[math]n=1[/math]
, perché sia a sinistra che a destra dell'uguale si ha
[math]\cos x[/math]
.

Passo induttivo:
Supponiamo che l'uguaglianza sia vera per
[math]n[/math]
e dimostriamo che allora è vera anche per
[math]n+1[/math]
. In effetti vale
[math]..\,\cos x \cdot \cos 2x \cdot \cos 4x \cdots \cos\left(2^{n-1}\cdot x\right) \cdot \cos\left(2^{(n+1)-1}\cdot x\right)\\[/math]

[math]=\frac{\sin\left(2^n \cdot x\right)}{2^n \cdot \sin x} \cdot \cos\left(2^n \cdot x\right)\\[/math]

[math]=\frac{2\cdot \sin\left(2^n \cdot x\right)\cdot \cos\left( 2^n \cdot x\right)}{2\cdot 2^n \cdot \sin x}\\[/math]

[math]=\frac{\sin\left(2\cdot 2^n \cdot x\right)}{2\cdot 2^n \cdot \sin x}\\[/math]

[math]=\frac{\sin\left(2^{n+1} \cdot x\right)}{2^{n+1} \cdot \sin x}\\[/math]
.
Nella prima riga abbiamo utilizzato l’ipotesi dell’induzione, cioè che l’uguaglianza è vera per
[math]n[/math]
.
[math]\square\\[/math]

Dai, ora prova a dimostrare la seconda tesi. Nel caso riscontrassi altre difficoltà non esitare a ricontattarci specificando a che punto della dimostrazione non sai più andare avanti ;)
Freiheit16
Freiheit16 - Erectus - 82 Punti
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Grazie mille!

Aggiunto 17 ore 43 minuti più tardi:

Per la seconda, è giusto il procedimento? Alla fine però non riesco ad ottenere l'uguaglianza

....+n*2^(n) = (n-1)*2^(n+1) + 2

è vera per n = 1

con n+1 --> n*2^(n) + (n+1)*2^(n+1) = (n-1)*2^(n+1)+2+(n+1)*2^(n+1)

c'è qualcosa di sbagliato?

Grazie
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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Non c'è nulla di sbagliato (anche se mi sarebbe piaciuto un po' più di ordine!), devi solo apporre qualche piccolo ritocco algebrico! :) Infatti, si ha

[math]..\,1\cdot 2^1 + 2\cdot 2^2 + 3\cdot 2^3 + \cdots + n\cdot 2^n + (n+1)\cdot 2^{n+1}\\[/math]

[math]=(n-1)\cdot 2^{n+1} + 2 + (n+1)\cdot 2^{n+1}\\[/math]

[math]=\left[(n-1)+(n+1)\right]\cdot 2^{n+1} + 2\\[/math]

[math]=2n\cdot 2^{n+1} + 2\\[/math]

[math]=n\cdot 2^1 \cdot 2^{n+1} + 2\\[/math]

[math]= \left[(n+1)-1\right] \cdot 2^{(n+1)+1} + 2\\[/math]

Spero che sia un po' più chiaro! :)
Freiheit16
Freiheit16 - Erectus - 82 Punti
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Non riesco a capire l'uguaglianza tra l'espressione prima dell'uguale e l'ultimo passaggio...
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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Allora ...
1.
[math]n=n+1-1=(n+1)-1[/math]
;
2.
[math]2^1 \cdot 2^{n+1}=2^{1+n+1}=2^{(n+1)+1}[/math]
;
dove nel punto due ho fatto riferimento alle proprietà delle potenze (estendibili agli esponenziali).
Tutto qui :)
Freiheit16
Freiheit16 - Erectus - 82 Punti
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Il problema resta...
come può
n^2 *2^(n) + (n+1)*2^(n+1) essere uguale a [(n+1)-1]*2^((n+1)+1) +2 ?

Anche se trasformo l'ultimo termine, ottengo:

(n)*2^((n+1)+1) +2 = (n)*2^(n+1) * 2^1 +2 ...e non è uguale al primo termine (nell'ultimo termine ho sempre il +2 che dall'altra parte dell'uguale non ho...)
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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Ma quando mai ho scritto una cosa del genere? Infatti, se noti un po' più attentamente, ho scritto:

[math]..\,1\cdot 2^1 + 2\cdot 2^2 + 3\cdot 2^3 + \cdots + n\cdot 2^n + (n+1)\cdot 2^{n+1}\\[/math]

[math]= \cdots\\[/math]

[math]= \left[(n+1)-1\right] \cdot 2^{(n+1)+1} + 2\\[/math]

che è ben diverso da quello che scrivi tu :)
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