Freiheit16
Freiheit16 - Erectus - 82 Punti
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Data la funzione f(x)= [(a-1)*x^3 + bx^2 +2ax-6]/x^2, con a,b numeri reali,
come posso determinare i valori di a e b in modo che il limite di f(x)
verso infinito sia 3?

Ho provato a usare la formula |f(x)-a|< epsilon, ma non credo sia molto utile...

Potreste aiutarmi a impostare il procedimento? Grazie a tutti
Anthrax606
Anthrax606 - VIP - 21444 Punti
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Mmmm mi sa che non mi sono spiegato. Non è un problema non aver studiato gli andamenti asintotici, sto parlando da un punto di vista algebrico, non geometrico. Non c'è un modo meccanico di risolvere questo problema, con una formula mnemonica e tanti bellissimi passaggi. Devi solo ragionare, c'è più da pensare che da scrivere. Se semplicemente espliciti la frazione, cioè dividi ogni termine del numeratore per il denominatore, cioè: f(x) = (a-1)*x+b+2a/x-6/x^2, facendo il limite per x->inf, gli ultimi due termini tendono a zero, la costante b "tende a sé stessa", il prime termine divergerebbe così com'è, tranne nell'unico caso i cui proprio valga a-1=0 => a =-1. Rimane solo la costante b che deve valere quanto il valore del limite richiesto. E il gioco è fatto.

Aggiunto 7 minuti più tardi:

Il rapporto tra due polinomi tende a un numero finito se il grado di numeratore e denominatore è lo stesso; quindi nel tuo caso il coefficiente di x^3 deve essere zero. Inoltre mettendo in evidenza sia a denominatore che a numeratore x^2 ( e semplificando) ottieni ( b+2a/x -6/x^2) CHE TENDE A b VISTO CHE GLI ALTRI DUE ADDENDI TENDONO A ZERO. qUINDI B DEVE ESSERE 3.
Anthrax606
Anthrax606 - VIP - 21444 Punti
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Allora:
Non devi usare la definizione di limite ma ragionarci un attimo. Se tutti i coefficienti a numeratore sono non nulli, allora il limite non può essere un valore finito perché al NUM la potenza è più alta che al denominatore e quindi la f è asintotica ad "x". Dunque bisogna imporre a-1=0 => a =1. A questo punto la f "cambia" andamento asintotico, tendendo al valore "b". Siccome vuoi che tale limite faccia 3, non rimane che imporre banalmente b = 3.
Freiheit16
Freiheit16 - Erectus - 82 Punti
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Ma come posso verificare che siano non nulli i coefficienti?
Anthrax606
Anthrax606 - VIP - 21444 Punti
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Non capisco la domanda. Non devi verificarli, da ragionamento sugli andamenti asintotici, devi fare in modo che il primo (quello di x^3) sia nullo, mentre il secondo valga 3. Io avevo fatto un ragionamento contrario, cioè per assurdo, scoprendo che se tutti i coefficienti sono NON nulli, il problema non ha soluzione.
Freiheit16
Freiheit16 - Erectus - 82 Punti
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Purtroppo non abbiamo ancora visto gli andamenti asintotici...non c'è un altro modo per risolverlo?
rino6999
rino6999 - VIP - 7008 Punti
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se a=1 e b=3 ottieni
lim x-->infinito (3x^2+2x-6)/x^2=3

in sostanza abbiamo imposto che anche il numeratore sia di 2°grado e che il rapporto tra i coefficienti delle x^2 sia 3
Freiheit16
Freiheit16 - Erectus - 82 Punti
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Ok grazie, adesso è abbastanza chiaro
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