LaSecondaJ
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Ciao :)
Volevo chiedere una mano con questi problemi di geometria

1. Calcolare la misura del quadrato inscritto in un triangolo rettangolo, sapendo che il perimetro del triangolo è 60a, l'altezza relativa all'ipotenusa 12a e che un lato del quadrato è sull'ipotenusa.
[l=300/37a]

2. Sia ABCD un trapezio di base maggiore AB, in cui il lato AD è perpendicolare alle basi. Sul lato AD si consideri un punto P tale che l'angolo CPB sia retto. Si dimostri che è necessario che la circonferenza di diametro CB incontri il lato AD.
Sapendo che il rapporto tra i segmenti CP, BP è uguale a 5/12, che la misura della base è 9,6a, mentre quella del lato AD e 11,2a, si dimostri che i triangoli ABP e CDP sono simili e si determinino la misura del segmento PD e l'area della superficie del triangolo BPC. [A=30a^2]

3. Il trapezio isoscele ABCD è circoscritto ad una circonferenza; la base maggiore DC misura 4a. Detto M il punto medio della base minore AB, sapendo che il triangolo DMC è equilatero, calcolare:
1) perimetro e area di ABCD
2) perimetro e area del quadrilatero avente per vertici i punti di contatto della circonferenza inscritta con i quattro lati del trapezio.
[1. 2p(ABCD)=14a; A(ABCD=7xradice3a^2]
[2. 2p=4aradice2/7 * (3+2radice3); A=24/7 * a^2radice3]

Grazie a tutti :hi
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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Ciao!!

Allora, ti do qualche dritta per ognuno dei tre problemi e poi ci mostri i tuoi passaggi. Ok? :)

1. Innanzitutto è bene ricavare la misura dell'ipotenusa risolvendo, ad esempio, un sistema di equazioni: la prima in cui si eguaglia la somma delle misure dei tre lati con il perimetro (noto), la seconda in cui si esplicita la misura dell'ipotenusa rispetto a quelle dei due cateti tramite il teorema di Pitagora e la terza in cui si eguaglia l'area del triangolo rettangolo calcolata come il semiprodotto tra le misure dei due cateti e quella calcolata tramite il semiprodotto tra la misura dell'ipotenusa e quella della relativa altezza (nota). A quel punto, tramite dei rapporti di similitudine, è facile ricavare la misura del lato del quadrato in funzione di quella dell'ipotenusa e della relativa altezza (provaci che caso mai ne riparliamo).

2. Per la prima dimostrazincina è sufficiente ricordare uno dei modi per definire la circonferenza, ossia la circonferenza di diametro CB è il luogo dei punti X tali che [concludi te]. Sulla dimostrazione dei triangoli simili mi piacerebbe leggere qualcosa di tuo, è davvero basilare. Dimostrato ciò, nota bene che CP/BP è il rapporto di similitudine dei triangoli ABP e CDP, quindi CP/BP = CD/AP = DP/AB = 5/12 da cui poi è semplice concludere.

3. Ti consiglio di partire col ragionare sul triangolo equilatero di cui conosciamo la lunghezza del lato. Ne segue immediatamente che la misura dell'altezza relativa alla base (coincidente con quella del trapezio isoscele) è presto calcolata e quindi pure quella del raggio della circonferenza inscritta nel trapezio. A questo punto, considerando il triangolo rettangolo BOC, puoi applicare il secondo teorema di Euclide per determinare la misura di BH, con H la proiezione di O su BC (il resto con opportune osservazioni è già noto). Perimetro ed area si possono dunque calcolare. Per la seconda parte, caso mai, ne discutiamo in seguito. ;)
LaSecondaJ
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Ti ringrazio :D
Sì, io avevo già provato a farli. Ho fatto il disegno e tutto ma volevo vedere se il metodo combaciava con quello di altre persone. Non so usare bene il programma che permette di scrivere qua le cose matematiche però posso allegarti la foto con il metodo che ho utilizzato.
Io cercavo un metodo più semplice e veloce per ogni problema.
Grazie mille :D

Questa risposta è stata cambiata da TeM (22-09-13 16:43, 3 anni 2 mesi 15 giorni )
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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Bene. Vediamo di procedere con ordine.

1. Il sistema che hai impostato corrisponde a ciò che ho scritto sopra a parole e pure coi risultati concordo. A quel punto, noti
[math]\overline{AB}=25a[/math]
e
[math]\overline{CH}=12a[/math]
segue che il loro rapporto vale
[math]25/12[/math]
. Ora, dato che i triangoli CAB e CPQ sono simili perché aventi gli angoli ordinatamente congruenti, se indichi con AK l'altezza rispetto a PQ segue che
[math]\overline{PQ}/\overline{AK}=25/12[/math]
perché triangoli simili hanno lo stesso rapporto di similitudine tra segmenti corrispondenti (omologhi). Posto
[math]x:=\overline{PQ}[/math]
si ha che
[math]\overline{AK}=12a-x[/math]
, da cui segue che
[math]x/(12a - x) = 25/12 \; \Leftrightarrow \; x=300a/37\\[/math]
.
2. Qui rivedi quello che ho scritto sopra. Prima bisogna dimostrare quei due fatti (due righe in tutto) e a quel punto passare ai calcoli.

3. Sulla prima parte ci siamo mentre sulla seconda mi sembra di no. Per quest'ultimo punto io noterei che il quadrilatero MPHQ presenta un'asse di simmetria parallelo all'altezza del trapezio ABCD che lo divide in due triangoli rettangoli. Dunque, note le misure di PM e PH il problema è bello che risolto. La prima misura è facilmente ricavabile notando che è il doppio di quella dell'altezza del triangolo rettangolo AMO relativa all'ipotenusa AO (bada bene che le misure di AM e di OM sono note, quindi tramite l'area...); per la misura di PH il ragionamento è del tutto analogo. ;)
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