nikre
nikre - Genius - 4406 Punti
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un buona sera a tutti, oggi, normale giorno di studio, faccio un esercizio di mate nel quale mi kiede di scrivere l'eq di una circonferenza con centro c sull'asse y e tangente in A alla retta t... come caspio faccio???mi potreste aiutare???

A(-2;5) t) y=4x+13

grazie a tutti...
BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
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Tutti i punti sull'asse y hanno x=0, pertanto la x del centro sara' zero e siccome la x del centro e' -a/2 allora a =0 e la circonferenza sara' della forma:
[math] x^2+y^2+by+c=0[/math]

Il punto A, in quanto punto di tangenza, apparterra' alla circonferenza e pertanto ne soddisfera' l'equazione:

[math] (-2)^2+5^2+5b+c=0 \to 29+5b+c=0 \to c=-5b-29 [/math]

Pertanto la circonferenza diverra' della forma

[math] x^2+y^2+by-5b-29=0 [/math]

A questo punto metti a sistema retta e circonferenza:

[math] \{ y= 4x+13 \\ x^2+y^2+by-5b-29=0 [/math]

Sostituisci l'equazione della retta a tutte le y:

[math] x^2+(4x+13)^2+b(4x+13)-5b-29=0 \to \\ \to x^2+16x^2+104x+169+4xb+13b-5b-29=0 [/math]

Sommi e raccogli per avere l'equazione di secondo grado in forma canonica:

[math] 17x^2+2x(52+2b)+140+8b=0 [/math]

Risovendo trovi i valori che la x assume nelle intersezioni circonferenza/retta (in funzione di b)

Siccome vogliamo che la retta sia tangente, le x dovranno essere coincidenti ovvero il delta della soluzione dovra' essere = 0

Usando la ridotta

[math] \Delta = (52+2b)^2-(140+8b)(17) =0 [/math]

[math] 2704+208b+4b^2-2380-136b=0 \to \\ \to 4b^2+72B+324=0 \to b^2+18b+81=0 [/math]

che equivale a
[math] (b+9)^2=0 \to b=-9 [/math]

La circonferenza sara'

[math] x^2+y^2-9y-16=0 [/math]

.

Aggiunto 3 minuti più tardi:

Avresti anche potuto ragionare cosi':

Sappiamo che il raggio che unisce il punto di tangenza al centro e' sempre perpendicolare alla tangente.

La perpendicolare alla retta avra' pendenza = -1/4 (antireciproco di 4)

e siccome passa per il punto A sara'

[math] 5=- \frac14 \cdot -2 +q \to q= \frac92 [/math]

Pertanto la perpendicolare interseca l'asse y nel punto (0,9/2) che e' proprio il centro della circonferenza.

Pertanto essendo la y del centro = -b/2 avremmo avuto -b/2=9/2 da cui b=-9

E pertanto avremmo potuto poi trovare l'equazione della circonferenza con le condizioni:

x del centro = 0 ==> a=0
y del centro = 9/2 ===> b=-9
e il parametro c l'avremmo ricavato con la condizione di appartenenza del punto alla circonferenza ad un solo parametro sconosciuto
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