barbara91
barbara91 - Habilis - 188 Punti
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Ciao a tutti,
mi servirebbe un aiuto per risolvere il problema di pag. 131 nr. 192 del mauale blu di matematica della Zanichelli - Volume 3 -:

In un rombo di lato L è inscritta una circonferenza; in tale circonferenza è inscritto il rettangolo che ha i vertici nei punti di tangenza fra rombo e circonferenza.
Sapendo che l'ampiezza degli angoli acuti è α , trova l'area del rettangolo.

[Risultato: 1/2 L^2 sen^3 α]

(1/2 L (elevato al quadrato) sen (elevato alla terza) α

Grazie anticipatamente per la risposta
Barbara
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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L'esercizio non è molto difficile, ma ci vuole una piccola astuzia per risolverlo che comprendi solo dalla figura!

Se vuoi la faccio con calma e domani ti posto tutto, ok?
barbara91
barbara91 - Habilis - 188 Punti
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Se puoi farlo con calma e postarlo mi faresti un grande piacere.
Ho provato di tutto, ma non ci sono riuscita.
A risentirci
Barbara
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Ecco qui la soluzione. Osserva la figura: data la simmetria, puoi restringere le tue considerazioni al solo triangolo AOB. Una volta determinati i segmenti IM ed IN, per calcolare l'area dell'intero rettangolo basterà moltiplicare per 4 quella del rettangolo IMNO.

Ora, dalle relazioni nei triangoli rettangoli, hai immediatamente, chiamando
[math]IO=r[/math]
il raggio della circonferenza
[math]IN=r \cos\frac{\alpha}{2},\qquad IM=r \sin\frac{\alpha}{2}[/math]

da cui

[math]A_{rett}=4\cdot IN\cdot IM=4r^2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}=
2r^2\sin(\alpha)[/math]

dove, nell'ultimo passaggio ho usato la formula di duplicazione del seno. A questo punto resta solo da calcolare
[math]r[/math]
. Per fare ciò, osserva che i triangoli AOB e AIO sono simili (entrambi retti e con l'angolo in A in comune.) Quindi
[math]AB/AO = OB/ IO[/math]

ma essendo
[math]AB=L,\ IO=r[/math]
e, sempre per le relazioni nei triangoli rettangoli
[math]OB=L\sin\frac{\alpha}{2}[/math]

[math]\frac{L}{AO}=\frac{L\sin\frac{\alpha}{2}}{r}\quad \Longrightarrow\quad AO=\frac{r}{\sin\frac{\alpha}{2}}[/math]
.
Quindi, poiché
[math]L^2=AO^2+BO^2[/math]
segue
[math]L^2=\frac{r^2}{\sin^2\frac{\alpha}{2}}+r^2 \sin^2\frac{\alpha}{2}\quad \Longrightarrow\quad r^2=L^2\left(1-\sin^2\frac{\alpha}{2}\right)\sin^2\frac{\alpha}{2}[/math]

e quindi

[math]r=L\cos\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\alpha}{2}=\frac{1}{2}L \sin\alpha[/math]

Sostituendo nell'espressione dell'area trovi dunque

[math]A_{rett}=2\cdot\frac{1}{4}\cdot L^2\cdot\sin^3\alpha=\frac{1}{2}\cdot L^2\cdot\sin^3\alpha[/math]

il risultato cercato.
org22
org22 - Ominide - 2 Punti
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versione alternativa utilizzando teorema dei coseni (alla mia alunna serviva così =P )

sempre facendo riferimento all'immagine riportata dal tutor sopra

i lati del rettangolo IJ e LI sono calcolabili grazie al teorema dei coseni (se hai due lati di un triangolo qualsiasi e l'angolo tra essi compreso puoi trovare il terzo lato applicando la formula riportata sotto, in questo caso applicata al triangolo IOJ)

IJ^2 = OI^2 + OJ^2 - 2 OI OJ cos (alfa) = 2 r^2 (1 - cos(alfa))

in quanto OI = OJ = r

mentre grazie al triangolo IOL troviamo l'altro lato IL del rettangolo

IL^2 = OI^2 + OL^2 - 2 OI OL cos (pigreco - alfa) = 2 r^2 (1 + cos(alfa))

cos(pigreco - alfa) = - cos(alfa) per gli angoli supplementari

Facendo la radice delle quantità riportate e moltiplicandole otterrete sotto radice
la quantità [1-cos(alfa)][1+cos(alfa)] = (1 - cos^2(alfa)) = sin^2(alfa)

L'area diventa allora IL * IJ = 2 r^2 sin(alfa)

da qui in poi la mia risoluzione è uguale tranne per la proporzione =)

AB: AO = OB : OL
L : L cos (alfa/2) = L sin (alfa/2) : r
da cui direttamente
r = L sin (alfa/2) cos(alfa/2) = L/2 sin(alfa) per formula di duplicazione del seno

sostituire nella formula dell'area e pace all'anima vostra
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