Wale90
Wale90 - Erectus - 50 Punti
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Sul prolungamento del diametro AB=2r di una semicirconferenza di centro O si prendano da parte opposta rispetto a O (e ja qua non ho capito -.-) due punti P e Q tali che OP = OQ. SI conducano da P e Q le tangenti alla semicirconfereza e sia S il loro punto comune.Si determini la posizioe di P e Q in modo che risulti:
a) PQ+SQ =2(radice di 3 +1)SO
b) PQ+SQ = 2kSO

con K appartenente a R!


grazie in anticipo! (speriamo bene!)
IPPLALA
IPPLALA - Mito - 101142 Punti
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Per aiutarti fatti un disegnino... capirai sicuramente... semplicemente si forma un triangolo e lì applichi le regole della trigonometria
Provo a farti un disegnino io
issima90
issima90 - Genius - 18666 Punti
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questo è il disegno!
plum
plum - Mito - 23902 Punti
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mi ricordo di aver fatto un problema praticamente identico in classe. ti aiuto fino a un pezzo perchè poi non saprei andare avanti.

considero il disegno di issima90 e chiamo P il punto di tangenza tra la semicirconferenza e la retta SP. ora chiamo l'angolo SPO=x e quindi PSO=90-x. considero ora il triangolo TOS: esso è rettangolo perchè OTS è di 90°; l'angolo TOS deve quindi valere x. ora considero i casi limite: se x=90° vuol dire che P coincide con A e che le rette SP e SQ, essendo parallele, non si incontreranno mai; questo caso è quindi da escludere. vediamo ora cosa succede se x=0°: la retta SP dovrebbe coincidere con la retta SQ ma questo non è possibile, quindi anche questo caso è da escludere. ci limiteremo quindi ad osservare i casi in cui 0°<x<90°. una volta studiati i casi limite si deve esprimere SP, PQ e SO in funzione di x. innanzitutto considero il triangolo PTO; per il teorema dei triangoli rettangoli TO=PO*senx o, scritto in altro modo, PO=TO/senx=r/senx. PQ=2PO=2r/senx. ora guardo il triangolo STO; sepre per il teorema dei triangoli rettangoli, TO=SO*cosx oppure SO=r/cosx. prendo infine il triangolo POS; so che PO=PS*cosx ---> PS=PO/cosx=(TO/senx)/cosx=TO/(senx*cosx)=r/(senx*cosx)

adesso la richiesta a) diventa

[math]PQ+SP=2(\sqrt3+1)SO\\\\=\frac{2r}{\sin x}+\frac r{\sin x*\cos x}=2(\sqrt3+1)*(\frac r{\cos x})\\\\\frac{2r}{\sin x}+\frac r{\sin x*\cos x}=\frac{2r(\sqrt3+1)}{\cos x}[/math]

puoi notare che senx e cosx al denominatore non danno problemi perchè senx=0 ---> x=0° o x=180°; ma 0°<x<90° quindi ne x=0° ne x=180° sono contemplati nel nostro esercizio (stessa cosa vale per cosx=0)
facendo il minimo comun denominatori e poi eliminando il denominatore ottieni l'equazione

[math]2\cos x+1=2(\sqrt3+1)senx[/math]

facendo lo stesso nel punto b ottieni la formula

PQ+SP=2kSO

2cosx+1=2ksenx
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