app4des
app4des - Ominide - 28 Punti
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Tra vari calcoli mi sono trovato con questo integrale:

[math]\int \frac{x^2}{x^2+1}\ dx[/math]

e ho incontrato difficoltà nel trasformare la funzione integranda in modo da risolvere l'integrale. Ora, Wolframalpha lo calcola trasformando la funzione così:

[math]1 - \frac{1}{x^2+1}[/math]

e mi torna, e l'integrale è molto semplice da risolvere:

[math]\int \frac{x^2}{x^2+1}\ dx = \int 1 - \frac{1}{x^2+1}\ dx = x - arctan{x} + c[/math]

Quello che non riesco a fare è appunto capire in modo rapido come scrivere in diversamente la funzione per poterla integrare in modo immediato. Anche ammettendo che mi venga in mente di avere da una parte
[math]\frac{1}{x^2+1}[/math]
per poterla integrare ottenendo
[math]arctan{x}[/math]
non capisco quale procedimento usare per ottenere l'altro membro, più che altro perché credo sia utile anche per calcolare molti alti integrali.
Suggerimenti? Grazie per l'aiuto :hi

Aggiunto 17 ore 15 minuti più tardi:

Ah già, non ci avevo pensato, ora è chiaro, grazie mille :)
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Quando lavori con frazioni algebriche, devi sempre ricordarti di riportarle a frazioni irriducibili: questo vuol dire che il grado del numeratore deve essere sempre minore di quello del denominatore. In questo caso basta dividere: infatti usando la regola della divisione tra polinomi ottieni facilmente

[math]x^2=(1+x^2)\cdot 1-1[/math]

da cui

[math]\frac{x^2}{1+x^2}=1-\frac{1}{1+x^2}[/math]
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