mirk95
mirk95 - Sapiens - 539 Punti
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ciao a tutti.. mi potete risolvere questi test di analitica??? Scusate se vi disturbo sempre... eccoli...
1)
L'eccentricità di un'ellisse di equazione x^2/a^2 + y^2/b^2 =1, con i fuochi sull'asse x, vale 1/2. Possiamo dire:
A. il semiasse maggiore misura 2 e il semiasse focale misura 1.
B. il semiasse maggiore è la metà del semiasse minore.
C. l'ordinata del fuoco è la metà del semiasse maggiore.
D. il semiasse minore è il doppio dell'ascissa del fuoco.
E. il semiasse maggiore è il doppio del semiasse focale.

2)
Per quali valori di k appartenente a R l'equazione x^2+(k-2)y^2=4-k rappresenta un'ellisse con i fuochi sull'asse delle ordinate?
A. 2<k<3.
B. k<2 e k>4.
C. k<4.
D. per ogni valore di k appartenente a R.
E. per nessun valore di k appartenente a R.
Grazie in anticipo...
Ali Q
Ali Q - Mito - 23936 Punti
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Ciao, Mirko! Ti do una mano con i tuoi esercizi. Intanto ecco a te il primo:

1)L'eccentricità di un'ellisse di equazione x^2/a^2 + y^2/b^2 =1, con i fuochi sull'asse x, vale 1/2.

Determinaimo innanzi tutto la posizione dei due fuochi F1 ed F2, che -dice il problema- stanno sull'asse x. Questo vuol dire che
[math]a^2>b^2.[/math]

[math]F1 = (c,0)[/math]
[math]F1 = (-c,0)[/math]
Dove
[math]c = \sqrt{a^2 - b^2}[/math]

La lunghezza dell'asse maggiore è pari a
[math]2a[/math]
.
L'eccentricità è invece definita come:
[math]c/a = 1/2[/math]
Questo vuol dire che
[math]c= a/2[/math]

Vediamo adesso le opzioni proposte dall'esercizio:
A. il semiasse maggiore misura 2 e il semiasse focale misura 1.
Questa non può essere: non abbiamo sufficienti elementi per dereminare
[math]a[/math]
, e quindi anche per determinare il semi asse maggiore. Vero è che il semiasse focale è metà di quello maggiore, ma non sappiamo con esattezza quali siano i valori dell'uno e dell'altro.
B. il semiasse maggiore è la metà del semiasse minore.
Vediamo cosa accade se sostituisco c= a/2 nell'equazione di uno dei due fuochi:
[math]c = \sqrt{a^2 - b^2}[/math]
[math]a/2 = \sqrt{a^2 - b^2}[/math]
[math]a^2/4 = a^2 - b^2[/math]
[math]a^2/4 - a^2 = - b^2[/math]
[math]-3a^2/4 = - b^2[/math]
[math]3a^2/4 = b^2[/math]
No, il semiasse minore non è metà di quello maggiore, altrimenti sarebbe dovuto essere:
[math]a^2/4 = b^2[/math]

C. l'ordinata del fuoco è la metà del semiasse maggiore.
No, l'ordinata del fuoco è pari a 0.

D. il semiasse minore è il doppio dell'ascissa del fuoco.
Precedentemente avevamo ricavato che:
[math]3a^2/4 = b^2[/math]
Ora,
[math]c=a/2[/math]
, quindi
[math]a =2c[/math]
. Sostituisco:
[math]3/4 * 4c^2 = b^2[/math]
[math]3c^2 = b^2[/math]
Nemmeno: perchè b fosse il doppio di c sarebbe dovuto essere:
[math]4c^2 = b^2[/math]

E. il semiasse maggiore è il doppio del semiasse focale.
Questa è la risposta corretta:
[math]c= a/2.[/math]

Aggiunto 30 minuti più tardi:

Secondo esercizio:
Su questo non sono sicura al 100%, ma ti posto comunque la mia soluzione, perchè penso possa comunque esserti utile. Non garantisco il risultato, però....

2)Per quali valori di k appartenente a R l'equazione x^2+(k-2)y^2=4-k rappresenta un'ellisse con i fuochi sull'asse delle ordinate?

Dunque, innanzi tutto riconduciamo questa equazione a quella canonica di una ellisse:
[math]x^2+(k-2)y^2=4-k [/math]
Divido tutto per
[math]4-k[/math]
[math]x^2/(4-k) + (k-2)/(4-k) = 1[/math]

Abbiamo che
[math]a^2= (4-k)[/math]
e che
[math]b^2 = (4-k)/(k-2)[/math]

1) Occorre che:
[math]4-k>0[/math]
[math]k>4[/math]

[math](4-k)/(k-2)>0[/math]
[math](4-k)> (k-2)[/math]
[math]-2k> -6[/math]
[math]-k>-3[/math]
[math]k<3[/math]

3) Perchè i fuochi stiano sull'asse y occorre poi che:
[math]a^2 < b^2.[/math]

[math](4-k) < (4-k)/(k-2)[/math]
[math]1/(k-2) > 1[/math]
[math](k-2) <1 [/math]

[math]k<3[/math]

Come può k rappresentare insieme un numero maggiore di 4 e minore di 3?
La risposta esatta -credo- dev'essere la E.
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