Newton_1372
Newton_1372 - Genius - 2097 Punti
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PRINCIPIO DI IDENTITA' DEI POLINOMI
Per ogni x complesso, da P(x)=Q(x) segue che P e Q hanno i coefficienti uguali e lo stesso grado.

Non trascrivo tutta la dimostrazione a causa della sua complessità e della difficoltà molto elaborata di scrittura con latex.
Ho un dubbio circa questa parte.
Per definizione

[math]\alpha=\max\(1,\frac{a_1}{a_0},\frac{a_2}{a_0},\frac{a_3}{a_0}......\frac{a_{n-1}}{a_0}\)[/math]

Si definisce inoltre
[math]x_0=2n\alpha[/math]
, essendo n il grado del polinomio complesso.
Il libro dà per scontato che valga la seguente relazione

[math]\|{\frac{a_1}{a_0}\frac{1}{x_0}+\frac{a_2}{a_0}\frac{1}{x_0^2}+...+\frac{a_{n-1}}{a_0}\frac{1}{x_0^{n-1}}}\| <\frac{1}{2}[/math]

Non riesco a capire da cosa si deduce questa relazione, importantissima ai fini della dimostrazione perchè serve a dimostrare che, partendo dal fatto che a_0 sia diverso da 0, si avrebbe che tutto il polinomio darebbe come risultato un numero maggiore di 1/2, e quindi il polinomio differenza (P-Q)(x) non sarebbe 0, contrariamente all'ipotesi.

Aggiunto 8 minuti più tardi:

TEOREMA DI RUFFINI
a è zero di P se e solo se P è divisibile per x-a

-> Dividiamo P per x-a. Otteniamo un polinomio quoziente Q e un resto R costante. Quindi. P(x)= Q(x)(x-a)+R. Il libro dice che è ovvio che R = P(a)=0 (e quindi che P è divisibile per x-a, in quanto R = 0). Il problema è che a me non sembra affatto ovvio...:S Come si evince che R = P(a)?

<- Sia P divisibile per x-a. Allora si potrà scrivere P(x)=Q(x)(x-a). Poi il libro aggiunge: "ne viene subito che a è 0 di P........"...di nuovo...non colgo il nesso!
Sperando in ulteriori delucidazioni, aspetto aiuto...
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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1) Cosa sono
[math]a_0,\ldots,a_n[/math]
(lo so che sono icoefficienti del polinomio, ma di quale?
2)Supponiamo che
[math]a[/math]
sia zero di
[math]P(x)[/math]
: allora
[math]P(a)=0[/math]
. Ora, se dividi ottieni
[math]P(x)=Q(x)\cdot(x-a)+R,\qquad R\in\mathbb{R}[/math]

dal momento che il resto deve essere un polinomio di grado minore di 1 rispetto al divisore: quindi ha grado zero e risulta una costante. Ora

[math]P(a)=Q(a)\cdot(a-a)+R=Q(a)\cdot 0+R=R[/math]
(invece è proprio ovvio! :asd)

Supponiamo invece che
[math]P(x)[/math]
sia divisibile per
[math](x-a)[/math]
: questo vuol dire che il reso è zero e che quindi
[math]P(x)=Q(x)\cdot(x-a)[/math]
. Ma allora
[math]P(a)=Q(a)\cdot(a-a)=Q(a)\cdot 0=0[/math]

e quindi
[math]a[/math]
è radice del polinomio.
Newton_1372
Newton_1372 - Genius - 2097 Punti
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potete darmi almeno la soluzione della 1) Potete dimostrarmi che quella quantità è minore di 1/2?

Aggiunto 5 minuti più tardi:

Visto che non c'è due senza tre, e non c'è tre senza quattro, allego altre due robettine di cui ci tengo avere la dimostrazione

Esercizio 4.3 Dimostrare che se
[math]w\in\mathbb{C}[/math]
è zero di moltiplicità h di P(x), lo è anche il coniugato di w (non mi sorprende visto che sono coniugi...)
Esercizio 4.4 Sia P un polinomio a coefficienti reali di grado dispari. Provare che esso ammette almeno uno zero reale

Chiedo in ginocchio anche di dimostrarmi che quella roba è < 1/2 ci tengo particolarmente...grazie
the.track
the.track - Genius - 12440 Punti
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Se vuoi ti do una mano per 4.4.

Dammi un attimo che la preparo.
adry105
adry105 - Genius - 3918 Punti
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La 4.4

Per la 4.3 se un polinomio a coefficienti reali è di grado dispari, sicuramente 1 soluzione è reale poichè se vi fosse una soluzione complessa ci sarebbe anche la sua coniugata, e quindi in poche parole le soluzioni complesse vanno a due a due, quindi se il grado è dispari sicuramente almeno una è reale! Ovviamente possono essere anche tre reali, anche cinque, sicuramente non due o quattro!..

La 4.3
La nostra tesi è di avere un'equazione di grado n a coefficienti reali:


[math]P_n(z)=a_0Z^n+a_1z^{n-1}+...+a_n=0[/math]

[math]a_o\ne0 [/math]



[math] a_0,a_1..\in R [/math]

(sempre nella tesi) in cui abbiamo una soluzione Z_o è un numero complesso
[math]Z_o\in\ C[/math]
Da qui dobbiamo trovare che anche il suo coniugato è zero dell'equazione!

Ipotesi:
se
[math]Z_o\in\ C[/math]
[math]/ P_n(Z_o)=0 \Rightarrow 0=\bar{P_n(Z_0)}[/math]
cioè coniuga entrambi i membri (e un pò come moltiplicare entrambi i membri per 2), sicuramente il coniugato di 0 è uguale 0!
Segue:

[math]0=\bar{P_n(Z_o)}=\bar{a_0Z_o^n+a_1z_o^{n-1}+...+a_n}=[/math]
[math]
\bar{a_0Z_o^n}+\bar{a_1Z_o^{n-1}}+....+\bar{a_n}=[/math]
[math]\bar{a_0}\bar{_Z_o^n}+\bar{a_1}\bar{Z_o^{n-1}}+...+\bar{a_n}=[/math]
[math]
a_0(\bar{Z_o})^n+a_1(\bar{Z_o})^{n-1}+..+a_n=P_n(\bar{Z_o})[/math]

Ricorda (ti dico i passaggi in sequenza): Il coniugato della somma è = alla somma dei coniugati; il coniugato dei prodotti è = al prodotto dei coniugati;
il coniugato di un numero reale è = al numero reale; se controlli la penultima equazione è uguale a quella iniziale in cui al posto di Z_o c'è il suo coniugato e quindi anche il coniugato di Z_o è soluzione...
the.track
the.track - Genius - 12440 Punti
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non ricordo se sia Hermite, che dice:

Dato un polinomio di grado n esso è sempre decomponibile in polinomi di grado 1 e/o 2 e quelli di grado due avranno delta negativo (altrimenti sarebbero scomponibili).

Dunque sappiamo che un polinomio di grado 2 avente delta<0 ha esattamente 2 radici complesse, una il coniugato dell'altra.

Inoltre sappiamo che nel campo dei complessi ogni polinomio di grado n ammette n radici complesse.

Ma allora se n=2k+1 avremo che il polinomio sarà scomponibile in k polinomi di grado 2 (che danno soluzioni coniugate o reali ma sempre due) e un polinomio di grado 1 per avere la 2k+1esima soluzione. Ma se c'è un polinomio di grado 1, questo avrà per forza soluzione reale pertanto il polinomio di grado n con n dispari ammette almeno una soluzione reale.
Newton_1372
Newton_1372 - Genius - 2097 Punti
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4.4 capita! Grazie

Aggiunto 1 minuti più tardi:

4.3 no! Potreste riscriverla meglio per favore?
adry105
adry105 - Genius - 3918 Punti
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Fatto!
Newton_1372
Newton_1372 - Genius - 2097 Punti
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non è un pò scontata come dimostrazione...? :S

Aggiunto 26 secondi più tardi:

Hai posto il polinomio = 0 e hai sposato tutte e due i membri...gisuto?

Aggiunto 7 minuti più tardi:

Adry senti visto che sei così bravino potresti dimostrarmi l'uguaglianza sopra nel principio di uguaglianza dei polinomi?! Vedi primo posto...ai fini della dimostrazione è indispensabile dimostrare che quella cosa è minore di un mezzo ma non so come fare!

Aggiunto 13 ore 19 minuti più tardi:

Allora ragazzi quasi tutto risolto! Mancano solo le seguenti due cose:
1). Principio di identità dei polinomi devo capire come fa quella quantità a essere minore di 1/2 (vedere primo post). Il polinomio in questione è
[math] a_0x^n+a_1x^n-1+....+a_n[/math]

La mia esigenza è di aggiungerci un altra cosa.
2.Cos'è la decomposizione in fratti semplici, e come si effettua nella pratica? Vi prego di usare un linguaggio chiaro e quanto piu possibile pratico, e di scrivere le formule in latex. Grazie
the.track
the.track - Genius - 12440 Punti
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[math]\sum _{j=0}^{n}\( \frac{\alpha _j}{\alpha _0}\cdot \frac{1}{\(2n\alpha\)^j}\)[/math]

[math]\frac{1}{\alpha_0}\sum _{j=0}^{n}\( \alpha _j \cdot \frac{1}{\(2n\alpha\)^j}\)[/math]

Si tratta di dimostrare che tale serie converge ad un valore < 1/2.
Newton_1372
Newton_1372 - Genius - 2097 Punti
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non ho fatto le serie...ci sarebbe un altro modo di tipo algebrico?

Aggiunto 8 ore 1 minuti più tardi:

ehi..ci siete?

Aggiunto 18 ore 29 minuti più tardi:

wreke vi prego non dimenticatevi di me
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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1) c'è qualcosa che non mi torna con quella disuguaglianza. Sia sicuro sia quella? A me viene <1! Posta qualche altra informazione (e magari anche il testo esatto del teorema - quello che hai tu, intendo).

2) Per la seconda cosa, la faccenda è piuttosto lunga per essere postata in una discussione. Ti mando un PM.
Newton_1372
Newton_1372 - Genius - 2097 Punti
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PRINCIPIO DI IDENTITA' DEI POLINOMI
Per ogni x complesso, da P(x)=Q(x) segue che P e Q hanno i coefficienti uguali e lo stesso grado.

DIMOSTRAZIONE. Viene considerato il polinomio differenza P-Q(x), e si dimostra che ciascuno dei coefficienti deve avere valore 0. Posto P-Q(x) nel modo seguente
[math] P-Q(x)=a_0x^n+a_1x^n-1......a_n[/math]
si ipotizza a con 0 diverso da 0, e si mette in evidenza acon0 elevato ad n
[math] P-Q(x)=a_0x^n(1+\frac{a_1}{a_0}\frac{1}{x}+\frac{a_2}{a_0}\frac{1}{x^2}+...+\frac{a_n}{a_0})[/math]
OMEGA
Aggiunto 1 minuti più tardi:

si PONE ALFA come il massimo tra il piu grande dei coefficienti in valore assoluto del polinomio omega e 1, e inoltre si pone
[math] x_0>2n\alpha[/math]

Aggiunto 1 minuti più tardi:

Si ha (secondo il libro...! Qui sta la parte non compresa)

[math]\|{\frac{a_1}{a_0}\frac{1}{x_0}+\frac{a_2}{a_0}\frac{1}{x_0^2}+...+\frac{a_{n-1}}{a_0}\frac{1}{x_0^{n-1}}}\| <\frac{1}{2}[/math]

Aggiunto 6 minuti più tardi:

Da questo risultato, si parte dalla quantità dentro parentesi del polinomio omega(con x_0 invece di x)
[math]|1+\frac{a_1}{a_0}\frac{1}{x_0}+\frac{a_2}{a_0}\frac{1}{x_0^2}....+\frac{a_n}{a_0}| >(=) 1-|\frac{a_1}{a_0}\frac{1}{x_0}+\frac{a_2}{a_0}\frac{1}{x_0^2}....+\frac{a_n}{a_0}|[/math]
Avendo dimostrato che quella quantità in valore assoluto è < 1/2, dalla seguente uguaglianza si ottiene logicamente P-Q(x_0)>1/2, e questo va contro l'ipotesi, perchè implica che P(x) e Q(x) non sono uguali.

Aggiunto 1 minuti più tardi:

non sapendo come mettere il quadratino bianco, concludo con un tradizionalissimo e medievale
Q.E.D
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Continua a non tornarmi. Perché da una parte ti fermi a
[math]n-1[/math]
e nel resto arrivi fino ad
[math]n[/math]
con gli indici?
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