AMNADR
AMNADR - Erectus - 50 Punti
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Ciao, sono nuovo di qua, tra i compiti per le vacanze ho la dimostrazione di questo teorema che non so proprio da dove iniziare :-((

Dimostra che le tre circonferenze, aventi i centri nei vertici di un triangolo e passanti per i punti in cui la circonferenza inscritta tocca i lati, sono a due a due tangenti esternamente.

Non ho capito nemmeno come fare il disegno :-((

Questa risposta è stata cambiata da Cherubino (03-08-09 23:02, 7 anni 4 mesi 3 giorni )
BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
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cominciamo dal disegno.

Fai un triangolo
tracciane le bisettrici dei 3 angoli: il punto di incontro di queste è l'incentro (ovvero il centro della circonferenza inscritta)

Fai la circonferenza inscritta.
Questa sarà tangente ai tre lati del triangolo.

Ora: traccia una circonferenza avente centro su un vertice e passante per i punti di contatto tra la circonferenza e i due lati che comprendono il vertice.

Avrai alla fine il triangolo, una circonferenza interna e tre esterne tangenti a due a due.

Fammi sapere quando hai fatto il disegno...
AMNADR
AMNADR - Erectus - 50 Punti
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ok ho fatto il disegno..come procedo ora?

Grazie!!
BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
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Per prima cosa dimostriamo che ogni circonferenza con centro sul vertice e raggio=distanza tra vertice e punto di tangenza tra la circ. inscritta e il triangolo, passa anche per l'altro punto di tangenza.

Traccia i raggi della circ. inscritta (di centro O) che passano per i punti di tangenza.
Consideriamo una circonferenza (ad esempio quella con centro in A dove A è un vertice del triangolo)
Traccia la bisettrice di A (che passa per l'incentro)
Tu sai che il raggio relativo al punto di tangenza, è perpendicolare alla tangente.
Considera i 2 triangoli che si formano, delimitati dal lato del triangolo (da A al punto di tangenza) dal raggio (perpendicolare alla tangente) e dalla bisettrice.

Questi sono due triangoli rettangoli, aventi l'angolo in A conguente (e pari a metà dell'angolo A). pertanto sono simili. inoltre hanno un lato in comune (AO). pertanto sono uguali.
Quindi la distanza tra A e i punti di tangenza è uguale.
Pertanto la circonferenza passa per entrambi i punti.
Analogamente dimostri che le altre due circonferenze passano per entrambi i punti di tangenza.
Dal momento che la somma dei raggi delle circonferenze=alla distanza tra i centri (ovvero il lato del triangolo) le circonferenze sono tangenti esterne.

Non è facile senza disegno... prova a vedere comunque se hai capito :)
AMNADR
AMNADR - Erectus - 50 Punti
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Sei stato esaurientissimo, grazie!!

Sembrava inabbordabile, invece, una volta col disegno corretto, la dimostrazione risulta abbastanza agevole...senza il tuo preziosissimo aiuto non ce l'avrei mai fatta però!!

Grazie ancora!
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Chiudo.
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