lucyrenzo
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Salve a tutti. Ho già risolto il seguente esercizio: determinare il carattere della serie di argomento:
[math]\frac{1}{n^\alpha}\log(1+ \sin \frac{1}{\sqrt[n]{cosa?}})[/math]
Praticamente ho trovato che converge per alpha maggiore di 1/2, diverge per alpha minore di 1/2. ma non so come si comporti per alpha uguale a un mezzo. Alpha e' un parametro reale positivo. Vi ringrazio.

p.s. sqrtn e' radice di n. mentre nella prima frazione n e' elevato ad alpha.

Questa risposta è stata cambiata da ciampax (11-02-09 23:10, 7 anni 10 mesi 1 giorno )
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Che ci va sotto la radice?
lucyrenzo
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soltanto n, senza cos! e' radice quadrata di n.
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Lucy, io ho scritto "cosa?" e non coseno! :)

Quindi la serie è questa

[math]\sum_{n=1}^\infty\left[\frac{1}{n^\alpha}\cdot\log\left(1+\sin\frac{1}{\sqrt{n}}\right)\right][/math]

giusto?

Bene, allora tutto ciò che devi fare è applicare il criterio del confronto. Infatti poiché
[math]n\geq 1[/math]
segue che
[math]0<\frac{1}{\sqrt{n}\leq 1<\frac{\pi}{2}[/math]

e quindi

[math]1<1+\sin\frac{1}{\sqrt{n}}<2[/math]

Ma allora hai che

[math]\left|\frac{1}{n^\alpha}\cdot\log\left(1+\sin\frac{1}{\sqrt{n}}\right)\right|
<\frac{1}{n^\alpha}\cdot \log 2[/math]

e dal teorema del confronto, visto che per
[math]\alpha>1[/math]
converge la serie armonica generalizzata, converge anche la serie in questione.
D'altra parte
[math]\log(1+t)\geq 1/t[/math]
per
[math]t\geq 1[/math]
e quindi
[math]\log\left(1+\sin\frac{1}{\sqrt{n}}\right)\geq\frac{1}{\sin\frac{1}{\sqrt{n}}>1[/math]

e quindi

[math]\left|\frac{1}{n^\alpha}\cdot\log\left(1+\sin\frac{1}{\sqrt{n}}\right)\right|>\frac{1}{n^\alpha}[/math]

e di nuovo, dal teorema del confronto, segue che la serie diverge per
[math]\alpha\leq 1[/math]
.

Questa risposta è stata cambiata da ciampax (12-02-09 11:12, 7 anni 10 mesi )
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