insule23
insule23 - Sapiens - 526 Punti
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salve avrei bisogno del vostro aiuto con questa funzione.

Studiare e rappresentare graficamente la funzione:
[math]y=\frac{x^{2}-1}{\left | x \right |}[/math]



Ho provato a svolgerla.

Determiniamo il campo di esistenza della funzione. Il suo denominatore deve essere non nullo. Quindi
[math]C.E.: x\neq 0[/math]

Cerchiamo eventuali simmetrie.
[math]f(-x)=\frac{(-x^{2})-1}{ -x } =-\frac{x^{2}-1}{ x }=-f(x)[/math]

Poiché f(-x)=-f(x), la funzione è dispari.
Il suo grafico é simmetrico rispetto all'origine degli assi.

Determiniamo le intersezioni con gli assi.
Asse y :nessuna intersezione con gli assi, essendo
[math]x\neq 0[/math]
.
Asse x:

[math]\left\{\begin{matrix}
y=\frac{x^{2}-1}{ x }\\
y=0
\end{matrix}\right.\rightarrow \left\{\begin{matrix}
\frac{x^{2}-1}{ x }=0\\
y=0
\end{matrix}\right.\rightarrow \left\{\begin{matrix}
x^{2}-1=0\\
y=0
\end{matrix}\right.[/math]

[math]\left\{\begin{matrix}
x_{1,2}=\pm 1\\
y=0
\end{matrix}\right.[/math]

I punti di intersezione con l'asse x sono:
A(-1,0) B(1,0)

Studiamo il segno della funzione.
[math]\frac{x^{2}-1}{\left | x \right |}> 0[/math]

Risulta:
positiva per -1 < x < 0 e
[math]x>1[/math]

negativa per
[math]x<-1[/math]
e 0 < x <1
Calcoliamo i limiti agli estremi del campo di esistenza.

[math]\lim_{x\rightarrow \pm \infty }\frac{x^{2}-1}{\left | x \right |}=+\infty [/math]

quindi non esiste asintoto orizzontale.
Pertanto la funzione presenta un asintoto obliquo di equazione y=mx+q

[math]m=\lim_{x\rightarrow \pm \infty }\frac{x^{2}-1}{\left | x \right |}\cdot \frac{1}{x}=\frac{x^{2}-1}{x\left | x \right |}=1[/math]

[math]q=\lim_{x\rightarrow \pm \infty }\frac{x^{2}-1}{\left | x \right |}- x=\frac{x^{2}-1-x^{2}}{\left | x \right |}=-\frac{1}{x}=0[/math]

L'asintoto obliquo ha equazione y=x


[math]\lim_{x\rightarrow \pm 0 }\frac{x^{2}-1}{\left | x \right |}- x=\mp \infty [/math]

quindi x=0 è un asintoto verticale.


fin qui è tutto corretto?
inoltre se mi potete aiutare a calcolare la derivata e il suo segno che non sto riuscendo a farlo..
fatemi sapere..
grazie.
carlogiannini
carlogiannini - Eliminato - 3992 Punti
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A prima vista (non ho rifatto tutti i conti) mi sembra tutto giusto e che tu abbia ben chiaro come procedere.
Quando compaiono i valori assoluti io consiglio sempre di "esplicitarli" scrivendo (e analizzando) le due funzioni separatamente ognuna nel proprio dominio.
In questo (fortunato) caso, avendo visto che la funzione è DISPARI, puoi tranquillamente studiare e disegnare la funzione "positiva" (per x>0) e poi ribaltarla (rispetto all'origine).
In questo modo elimini tutte le "rotture" del valore assoluto.
La derivata la calcoli con la formula classica d(f•g)=[f'•g - f•g']/g^2
Fatta a mente (controlla, non ho carta e penna) dovrebbe venire
(x^2+1)/x^2
quindi, essendo sempre positiva, la funzione è sempre crescente (se ho fatto bene i conti)
Fammi sapere

Aggiunto 1 ora 12 minuti più tardi:

Una cosa. Se la funzione non ha asintoti orizzontali NON è detto che DEVE avere asintoti obliqui.
Prendi una normale parabola: non ha nè asintoti orizzontali nè asintoti obliqui.
Nel caso di funzioni fratte avremo un asintoto obliquo se è solo se il grado del numeratore è superiore a quello del denominatore di UNA UNITÀ.
Infatti in questo caso il num. ha grado "2" e il den. ha grado"1".
Lo stesso succede per:
[math]y=\frac{2x^3}{5x^2-4}\\y=\frac{7x^6-2x^4+3x}{9x^5+3}[/math]
.
.
quindi devi scrivere:
"vediamo SE la funzione ha un asintoto obliquo"
Come hai scritto tu, un insegnante pignolo lo considererebbe errore.
Per la cronaca, se il grado del num. supera il grado del denom. di DUE O PIÙ unitá, la funzione NON ha asintoti obliqui. Tutto questo deriva dal fatto che si calcola il limite di f(x)/x e questo alza il grado del denominatore di "1".
fammi sapere se sono stato chiaro.
Carlo
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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Dunque, data la funzione
[math]f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\\[/math]
definita da
[math]f(x) := \frac{x^2 - 1}{|x|}\\[/math]
essa presenta insieme di definizione

[math]\text{dom}[f] = \left\{ x \in \mathbb{R} : x \ne 0 \right\}\\[/math]
e dal momento che a prima vista e anche a seconda, risulta

[math]f(-x) = \frac{(-x)^2 - 1}{|-x|} = \frac{x^2 - 1}{|x|} = f(x)\\[/math]
si ha che
[math]f[/math]
è una funzione pari, ossia simmetrica rispetto all'asse delle
ordinate. Proprio per questo motivo è possibile studiare
[math]f[/math]
solamente per
[math]x > 0\\[/math]
e alla fine specchiare il tutto rispetto all'asse delle ordinate.
Quindi, indicando con
[math]f^+[/math]
la nostra funzione
[math]f[/math]
per
[math]x > 0[/math]
,
per quanto concerne l'intersezione dell'asse delle ascisse, si ha:

[math]f^+(x) = 0 \; \; \Leftrightarrow \; \; x = 1\\[/math]
e quindi il grafico di
[math]f^+[/math]
interseca detto asse nel punto
[math]A(1,\,0)\\[/math]
.
Passando allo studio del segno di
[math]f^+\\[/math]
, si ha:
[math]f^+(x) > 0 \; \Leftrightarrow \; x > 1\\[/math]
quindi
[math]f^+[/math]
è negativa per
[math]0 < x < 1[/math]
e positiva per
[math]x > 1\\[/math]
.
Per quanto concerne lo studio di
[math]f^+\\[/math]
ai limiti, si ha
[math]\begin{aligned}\lim_{x \to 0^+} f^+(x) = -\infty\,, \; \; \; \lim_{x \to +\infty} f^+(x) = +\infty \; ; \end{aligned}\\[/math]
ne consegue che
[math]x = 0[/math]
è asintoto verticale (sinistro) per
[math]f^+[/math]
, mentre
non esiste asintoto orizzontale: è possibile che vi sia un asintoto obliquo.

Dato che
[math]\begin{aligned}
& m = \lim_{x \to +\infty} \frac{f^+(x)}{x} = 1 \; ; \\
& q = \lim_{x \to +\infty} \left( f^+(x) - m\,x \right) = 0 \; ; \\
\end{aligned}\\[/math]
ne consegue che
[math]y = x[/math]
è asintoto obliquo per
[math]f^+\\[/math]
.
È il momento quindi di studiare il segno di
[math]{f^+}'[/math]
in
[math]\text{dom}[f^+]\\[/math]
:
[math]{f^+}'(x) = \frac{x^2 + 1}{x^2} \ge 0 \; \; \Rightarrow \; \; \forall\,x \in \text{dom}[f^+]\\[/math]
da cui segue che
[math]f^+[/math]
è monotona crescente in
[math]\text{dom}[f^+]\\[/math]
.
Infine, per quanto concerne lo studio del segno di
[math]{f^+}''[/math]
in
[math]\text{dom}[f^+]\\[/math]
:
[math]{f^+}''(x) = - \frac{2}{x^3} \ge 0 \; \; \Rightarrow \; \; \not\exists \, x \in \text{dom}[f^+]\\[/math]
da cui segue che
[math]f^+[/math]
è concava in
[math]\text{dom}[f^+]\\[/math]
.
In conclusione, alla luce dello studio di funzione fatto, il grafico di
[math]f\\[/math]
è
e questo conclude l'esercizio. ;)
insule23
insule23 - Sapiens - 526 Punti
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# carlogiannini :
Quando compaiono i valori assoluti io consiglio sempre di "esplicitarli" scrivendo (e analizzando) le due funzioni separatamente ognuna nel proprio dominio.



mi potresti mostrare come esplicitare il valore assoluto,
cambia qualcosa sullo studio della funzione....
non ho capito se la funzione è pari o dispari..
fatemi sapere..
grazie..
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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# insule23 : non ho capito se la funzione è pari o dispari..
Ma mi stai prendendo in giro?? Oltre a scrivertelo in grassetto e in color
rosso dovevo metterci le insegne luminose coi lampeggianti e le sirene?
Per cortesia, leggi per bene quanto ho scritto e vedi se ti è chiaro. In caso
contrario fai presente i punti oscuri che ne discutiamo assieme. Grazie
insule23
insule23 - Sapiens - 526 Punti
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Ok..
Non ho capito cosa devo fare
con il valore assoluto al denominatore..
Che considerazioni dovrei fare.
Se me lo pptresti spiegare.
Grazie.
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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Eppure te l'ho mostrato in dettaglio "cosa devi fare".

Cerco di riassumere i passi salienti.

i) È richiesto lo studio di
[math]f(x) := \frac{x^2 - 1}{|x|}\\[/math]
;
ii) si nota che
[math]f(- x) = f(x)[/math]
, quindi
[math]f[/math]
è
simmetrica rispetto all'asse delle ordinate;

iii) tale simmetria implica che "ciò che accade" per
[math]x > 0[/math]
simmetricamente accade anche per
[math]x < 0[/math]
.
Un esempio su tutti è il punto di intersezione con l'asse
delle ascisse: una volta determinato A è implicito che il
grafico di
[math]f[/math]
intersechi detto asse in A': vedi immagine
allegata sopra!!);

iv) alla luce di quanto scritto, si studia
[math]f[/math]
solamente per
[math]x > 0[/math]
e dato che per
[math]x > 0[/math]
si ha
[math]|x| = x[/math]
ciò impli-
ca lo studio della funzione
[math]f^+(x) := \frac{x^2 - 1}{x}[/math]
che per sua
natura è definita solo per
[math]x > 0\\[/math]
;
v) una volta finito lo studio di
[math]f^+[/math]
, per ottenere il grafico
di
[math]f[/math]
è sufficiente specchiare quello di
[math]f^+[/math]
rispetto all'asse
delle ordinate (ancora una volta, l'immagine allegata vale più
di mille parole).

Ora dovrebbe essere chiaro come "aggirare" il problema del valore assoluto. ;)
insule23
insule23 - Sapiens - 526 Punti
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Ok grazie mille :-)
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