Macellaro
Macellaro - Sapiens - 340 Punti
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[math]y=aSECpx[/math]
con a e p diversi da 0
L'esercizio mi chiede di esprimere il periodo e le equazioni degli asintoti in funzione di a e di p.
Il problema è che non mi è ben chiaro un metodo per riuscire a risalire al periodo dell'equazione. A sapere il periodo della secante e tutte le funzioni goniometriche elementari ci arrivo graficamente ma davanti ad una cosa del genere non saprei come muovermi. Sostanzialmente non ho capito come risalire al periodo da un'equazione così stravolta.

Se riuscite e volete aiutarmi, bè, vi prego di postare.
Grazie in anticipo a tutti.
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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La cosa risulta abbastanza semplice se ricordi cosa è la secante: la tua funzione la puoi scrivere così:

[math]f(x)=a\sec(px)=\frac{a}{\cos px}[/math]

Dal momento che il periodo della funzione coseno è
[math]2\pi[/math]
, questo vuol dire che
[math]\cos(t+2\pi)=\cos t[/math]

ma allora hai che, se indichi con T il periodo della tua funzione

[math]f(x+T)=f(x)\\ \frac{a}{\cos(px+pT)}=\frac{a}{\cos(px)}\\
\cos(px+pT)=\cos(px)[/math]

e quindi
[math]pT=2\pi[/math]
e cioè
[math]T=\frac{2\pi}{p}[/math]

Per gli asintoti, invece, devi innanzitutto calcolare il dominio: esso è dato dall'insieme di punti per cui
[math]\cos(px)\neq 0\Longrightarrow px\neq\frac{\pi}{2}+k\pi[/math]

e quindi

[math]x\neq \frac{\pi}{2p}+\frac{k}{p}\pi[/math]

Poiché

[math]\lim_{x\rightarrow\frac{\pi}{2p}+\frac{k}{p}\pi} f(x)=\infty[/math]

ne segue che tutte le rette di equazione

[math]x=\frac{\pi}{2p}+\frac{k}{p}\pi,\qquad k\in\mathbf{Z}[/math]

sono asintoti verticali.
Macellaro
Macellaro - Sapiens - 340 Punti
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Grazie mille. Dato che siamo in tema spiegami un'altra cosa per favore.
Il problema continua chiedendo di determinare una particolare funzione di periodo
[math]T=\frac {\pi}{2}[/math]
e di trovare il dominio il codominio della funzione.
A determinare la funzione ci arrivo, mi servirebbe una spiegazione per trovare dominio e soprattuto il codominio (che consiste nel dominio del dominio, cioè un sottoinsieme, giusto?)
Se ti va di aiutarmi pure in questo te ne sarei grato.
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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No, il codominio rappresenta l'insieme di arrivo della funzione, non un sottoinsieme del dominio.

La per il dominio, usa quello che ti ho scritto: in pratica una volta che hai determinato la p in modo che il periodo sia quello che vuoi, valla a sostituire nell'espressione del dominio che ti ho scritto.

Per il codominio, invece, basta capire quali sono i valori che raggiunge la tua funzione, una volta scelta la p.
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