insule23
insule23 - Sapiens - 526 Punti
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salve mi servirebbe il vostro aiuto con questo esercizio.

Studiare e rappresentare la funzione:

[math]f(x)= e^{-x}\sqrt{ | x-1 |}[/math]


Io ho provato a svolgerlo cosi:
la funzione data esiste
[math]\forall x\, \in \, \mathbb{R}[/math]
.
Tenendo conto che
[math]e^{-x}>0 \forall x\, \in \, \mathbb{R} [/math]
,
deduco che il grafico della funzione incontra gli assi solo nell'origine
[math]O (0;0)[/math]
.
è giusto?
non saprei come continuare..
se mi potete aiutare anche mostrando i vari passaggi..
grazie..
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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Dunque, data la funzione
[math]f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\\[/math]
definita da
[math]f(x) := e^{-x} \sqrt{|x - 1|}\\[/math]
essa presenta insieme di definizione

[math]\text{dom}[f] = \mathbb{R}[/math]

e dato che
[math]f(0) = 1[/math]
il proprio grafico interseca l'asse delle ordinate
in
[math]A(0,\,1)[/math]
, mentre dato che
[math]\small f(x) = 0 \; \Leftrightarrow \; x = 1[/math]
interseca quello
delle ascisse in
[math]B(1,\,0)\\[/math]
.
Per quanto concerne il segno di
[math]f\\[/math]
, si ha
[math]f(x) > 0 \; \Rightarrow \; \forall\,x \in \text{dom}[f] \; , \\[/math]
quindi
[math]f[/math]
è non negativa per qualsiasi
[math]x\\[/math]
reale.
Passando allo studio di
[math]f\\[/math]
ai limiti, si ha
[math]\begin{aligned} \lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty\,, \; \; \; \lim_{x \to +\infty} f(x) = 0 \end{aligned}\\[/math]
da cui consegue che
[math]y = 0[/math]
è asintoto orizzontale per
[math]f[/math]
per
[math]\small x \to +\infty[/math]
,
mentre non esiste asintoto orizzontale per
[math]\small x \to -\infty[/math]
: è possibile che vi sia
un asintoto obliquo.

Dato che si ha
[math]\begin{aligned}m \overset{?}{=} \lim_{x \to -\infty} \frac{f(x)}{x} = -\infty\end{aligned}\\[/math]
si appura l'assenza anche di asintoti obliqui per
[math]f\\[/math]
.
È il momento quindi di studiare il segno di
[math]f'[/math]
in
[math]\text{dom}[f]\\[/math]
:
[math]f'(x) = e^{-x}\frac{3 - 2x}{2}\frac{x - 1}{\sqrt{|x-1|^3}} \ge 0 \; \Leftrightarrow \; 1 < x \le \frac{3}{2} \\[/math]
da cui segue che
[math]f[/math]
decresce per
[math]x < 1\,\vee \, x > \frac{3}{2}[/math]
, cresce per
[math]\small 1 < x < \frac{3}{2}[/math]
e presenta un punto di massimo relativo in
[math]\small C\left(\frac{3}{2},\,\frac{1}{\sqrt{2\,e^3}}\right)\\[/math]
.
Inoltre, dal momento che si ha

[math]\begin{aligned} \lim_{x \to 1^-} f'(x) = - \infty\,, \; \; \; \; \lim_{x \to 1^+} f'(x) = +\infty \end{aligned}\\[/math]
in
[math]B[/math]
[math]f[/math]
presenta un punto di cuspide che in base allo studio
ai limiti si evince essere un punto di minimo assoluto per
[math]f\\[/math]
.
Per quanto concerne lo studio del segno di
[math]f''[/math]
in
[math]\text{dom}[f]\\[/math]
:
[math]f''(x) = e^{-x}\frac{4\,x^2 - 12\,x + 7}{4}\frac{(x - 1)^2}{\sqrt{|x-1|^7}} \ge 0 \; \Leftrightarrow \; x \le \frac{3 - \sqrt{2}}{2} \, \vee \, x \ge \frac{3 + \sqrt{2}}{2}\\[/math]
da cui segue che
[math]f[/math]
è convessa per
[math]x < \frac{3 - \sqrt{2}}{2} \, \vee \, x > \frac{3 + \sqrt{2}}{2}[/math]
, presenta
due punti di flesso per
[math]x = \frac{3 \pm \sqrt{2}}{2}[/math]
ed è concava per
[math]\frac{3 - \sqrt{2}}{2} < x < \frac{3 + \sqrt{2}}{2}\\[/math]
.
In conclusione, alla luce dello studio di funzione fatto, il grafico di
[math]f[/math]
è

Con questo direi che è davvero tutto. ;)
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grazie mille :-)
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