lilla69
lilla69 - Sapiens Sapiens - 1470 Punti
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devo fare lo studio di una funzione partendo dal dominio fino a trovare la derivata prima.

la funzione è la seguente:

y = (x alla seconda -5x +6) alla seconda


vi prego ho bisogno di aiuto se potete rispondetemi presto


vi ringrazio =)
BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
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[math] y= (x^2-5x+6)^2 [/math]

Dominio: non vi sono limitazioni, in quanto non c'e' denominatore, radici ad indice pari, logaritmi, esponenziali, tangente o cotangente. Il dominio e' tutto R

Non essendoci punti di discontinuita' ne' intervalli di discontinuita' la funzione non ha asintoti verticali

Intersezione con gli assi.

Asse Y : x=0

[math] f(0) = (0^2-5 \cdot 0+6)^2=6^2=36 [/math]

La funzione interseca l'asse y nel punto (0,36)

Asse x: Y=0

[math] (x^2-5x+6)^2=0 \to x^2-5x+6=0 \to \\ \\ \\ \\ \to (x-3)(x-2)=0 \to x=2 \cup x=3 [/math]

La funzione interseca l'asse x nei punti (2,0) e (3,0)

Positivita':

[math] (x^2-5x+6)^2>0 [/math]

E' un quadrato pertanto sempre positivo ad eccezione dei punti in cui la funzione vale zero (quindi per x=2 e x=3)

Comportamento all'inifinito:

[math] \lim_{x \to + \infty} (x^2-5x+6)^2 = (+ \infty)^2 = + \infty [/math]

[math] \lim_{x \to - \infty} (x^2-5x+6)^2 = (- \infty)^2 = + \infty [/math]

La funzione non tende ad un valore finito, pertanto non ha asintoti orizzontali.

(avete fatto lo studio degli asintoti obliqui?)

Studio della derivata prima:

Si tratta di funzione di funzione (quadrato di polinomio) quindi la derivata e' pari alla derivata del quadrato per la derivata dell'argomento, quindi

[math] y'=2(x^2-5x+6)(2x-5) = 2(x-2)(x-3)(2x-5) [/math]

Che si annulla in x=2, x=3, x=5/2.

positivita' della derivata

[math] 2(x-2)(x-3)(2x-5)>0 \to 2<x< \frac52 \cup x>3 [/math]

Pertanto la funzione decresce fino a 2 (dove interseca l'asse x......) , risale da 2 a 5/2, scende da 5/2 a 3 e risale da 3 a + infinito.

x=2 e x=3 sono due punti di minimo assoluto (dove la funzione vale 0 e piu' giu' di quel valore non va) mentre ha in x=5/2 un punto di massimo RELATIVO (in quanto la funzione va anche oltre, infatti "arriva" da + infinito e "finisce" in + infinito.

Se hai dubbi chiedi :)
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