Lady9Oscar1
Lady9Oscar1 - Ominide - 23 Punti
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Studiare l'equazione di equazione y= 3-x / x+1 .

1) Determinare le intersezioni della curva con la retta y=4x+h

2)Trovare il valore di h per cui la retta è tangente alla curva e determinare le coordinate del punto di contatto A di ordinata positiva.

3)Scrivere l'equazione della parabola del tipo y=ax^2 +bx +c tangente alla curva nel punto A.

4)Calcolare le coordinate dell'ulteriore punto B di intersezione delle due curve.

GRAZIE
BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
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Cosa ti serve?

Lo studio di funzione?

Intanto ti aiuto nei 4 punti..

1) I punti di intersezione tra due curve e' la soluzione del sistema delle due equazioni.

[math] \{ y= \frac{3-x}{x+1} \\ y=4x+h [/math]

E quindi per confronto
[math] y=y \to \frac{3-x}{x+1}=4x+h [/math]

Risolviamo dunque l'equazione (h e' un parametro e come tale dev'essere trattato, ovvero come fosse un valore noto)

[math] \frac{3-x}{x+1}= \frac{(4x+h)(x+1)}{x+1} [/math]

Eliminiamo il denominatore comune ricordando che
[math] x+1 \ne 0 \to x \ne -1 [/math]
che altro non e' che la conferma del dominio.
[math] 3-x=4x^2+4x+hx+h \to 4x^2+5x+hx+h-3=0 \to 4x^2+(5+h)x+h-3=0 [/math]

Da cui

[math] x_{1,2}= \frac{ -(5+h) \pm \sqrt{(5+h)^2-4 (4)(h-3)}}{8} [/math]

Eseguiamo i calcoli del Delta

[math] \Delta=25+10h+h^2-16h+48=h^2-6h+73 [/math]

Pertanto le due soluzioni saranno

[math] x_1= \frac{-5-h+ \sqrt{h^2-6h+73}}{8} [/math]
e
[math] x_2= \frac{-5-h- \sqrt{h^2-6h+73}}{8} [/math]

e quindi

[math] y_1= 4( \frac{-5-h+ \sqrt{h^2-6h+73}}{8})+h= ( \frac{-5-h+ \sqrt{h^2-6h+73}}{2})+ \frac{2h}{2} [/math]

e quindi

[math] y_1= \frac{-5+h+ \sqrt{h^2-6h+73}}{2} [/math]

[math] y_2= \frac{-5+h- \sqrt{h^2-6h+73}}{2} [/math]

(che numeracci, spero che il testo che mi hai postato sia quello corretto...)

2) Affinche' la retta sia tangente, le coppie
[math] x_1,y_1 \ e \ x_2,y_2 [/math]
devono coincidere pertanto il Delta che abbiamo trovato prima dev'essere = 0 (cosi' da avere due soluzioni coincidenti)
[math] \Delta=h^2-6h+73=0 [/math]

E quindi (usando la ridotta)

[math] h_{1,2}= 3 \pm \sqrt{9-73} [/math]

E qui mi fermo perche' c'e' qualcosa che non va (il Delta e' negativo, l'equazione non ha soluzioni..). Sei sicura che:

la funzione sia
[math] y= \frac{3-x}{x+1} [/math]

e che la retta sia
[math] y=4x+h [/math]
?
aleio1
aleio1 - Mito - 18949 Punti
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penso che la retta sia
[math]y=-4x+h[/math]
.
Hai che l'equazione risolvente il sistema è
[math]4x^2+(3-h)x+3-h=0[/math]
da cui
[math]\Delta=h^2+10h-39[/math]
che eguagliato a
[math]0[/math]
(condizione di tangenza)
ha come soluzioni :
[math]h_1=-13 \ \ \ \ h_2=3[/math]

Aggiunto 5 minuti più tardi:

Le rette
[math]y=-4x-13[/math]
e
[math]y=-4x+3[/math]
sono tangenti alla curva.
Lady9Oscar1
Lady9Oscar1 - Ominide - 23 Punti
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Si infatti è y= -4x+h
BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
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Beh, ma direi che tra me e aleio ti abbiamo risposto..

Io ho postato i passaggi.
Poi adattali all'esercizio.
Lady9Oscar1
Lady9Oscar1 - Ominide - 23 Punti
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manca il punto 3... =(
BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
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Dati per giusti (perche' mi fido di aleio) i valori trovati nel suo post, (e guardando il disegno) la retta tangente alla funzione nel punto A (di ordinata positiva) e'
[math] y=-4x+3 [/math]

Il punto A sara' dunque il valore assegnato alla soluzione, trovata per h=3, ovvero

[math] x_{1,2}= \frac{-3+3 \pm \sqrt0}{4} = 0 [/math]

E quindi (il punto appartiene alla funzione e alla retta)
[math] y=-4x+3 \to y=3 [/math]

Quindi A(0,3)

La parabola e' tangente alla funzione nel punto A: quindi

a) passa per il punto A :
[math] 3=c [/math]

La parabola sara'
[math] y=ax^2+bx+3 [/math]

Inoltre sara' tangente anche alla retta tangente (si ricordi che due funzioni tangenti condividono la stessa tangente)

[math] y=-4x+3 \\ y=ax^2+bx+3 [/math]

[math] -4x+3=ax^2+bx+3 \to -4x=ax^2+bx \to x(ax+b+4)=0 [/math]

Una soluzione sara' dunque
[math] x= \frac{-b-4}{a} [/math]
mentre l'altra sara' x=0.
Affinche le soluzioni del sistema (ovvero le ascisse dei 2 punti di intersezione) siano le medesime (ricordiamo che i punti di tangenza sono 2 punti coincidenti) dovremo avere due soluzioni uguali.

Quindi
[math] \frac{-b-4}{a}=0 \to b=-4 [/math]

La parabola sara' dunque una parabola del fascio

[math] y=ax^2-4x+3 [/math]

Calcoliamo i punti di intersezione con la funzione:

[math] y= \frac{3-x}{x+1} \\ y=ax^2-4x+3 [/math]

Da qui uguagli le y, minimo comune multiplo e trovi un'equazione di terzo grado:

[math] ax^3-4x^2+3x+ax^2-4x+3=3-x [/math]

Da cui facendo i conti

[math] ax^3-4x^2+ax^2=0 [/math]

Raccogli

[math] x^2(ax-4+a)=0 [/math]

Il punto di tangenza, abbiamo detto, dev'essere in x=0.

Quindi le 3 soluzioni dell'equazione saranno:

[math] x^2=0 \to x=0 [/math]
e lo sapevamo
[math] ax-4+a=0 \to x= \frac{4-a}{a} [/math]

Anche la soluzione con il parametro dovra' essere zero..

Quindi

[math] \frac{4-a}{a}=0 \to a=4 [/math]

La parabola sara'

[math] y=4x^2-4x+3 [/math]

4) le due curve si intersecano nella soluzione del sistema

[math] \frac{3-x}{x+1} \\ y=4x^2-4x+3 [/math]

Svolgiamo i calcoli

[math] (4x^2-4x+3)(x+1)=3-x \to 4x^3+4x^2-4x^2-4x+3x+3=3-x \to x^3=0 [/math]

Probabilmente ho fatto qualche errore, dal momento che la parabola sembra non avere altri punti di intersezione..
Lady9Oscar1
Lady9Oscar1 - Ominide - 23 Punti
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grazie...controllo io

Aggiunto 1 giorni più tardi:

Per togliere dubbi...I vostri procedimenti sono esatti...Bit5 non ti trovi perchè il prof dettando l'esercizio ha mancato un pezzo... -.- e cioè che la parabola ha il vertice sull'asse x. Quindi il tutto diventava molto più facile. Cmq grazie mille..! =) alla prossima
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