Lady9Oscar1
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Chi mi studia queste due funzioni?? (cioè determinare dominio,intersezioni,segno,asintoti,derivata prima,segno derivata prima ed eventuali massimi,minimi e flessi)

y=4rad1-x^2 +3x [il +3x è fuori dalla radice]

y=logx/x
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la prima e'

[math] y=4 \sqrt{1-x^2}+3x [/math]
??
Lady9Oscar1
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Sisi è questa
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Allora:

DOMINIO

unica limitazione sul dominio la crea la radice quadrata, che impone radicando maggiore o uguale a zero.

Quindi

[math] 1-x^2 \ge 0 \to x^2-1 \le 0 \to (x-1)(x+1) \le 0 \to -1 \le x \le 1[/math]

La funzione pertanto e' limitata tra i punti -1 (compreso) e 1 (compreso)

Intersezione con gli assi:

ASSE Y: x=0

[math] y=4 \sqrt1 =4 [/math]

ASSE X: y=0

[math] 4 \sqrt{1-x^2}+3x=0 \to \sqrt{1-x^2}=- \frac34 x [/math]

Eleviamo al quadrato, ma prima consideriamo che:

se
[math] - \frac34 x < 0 \to x>0 [/math]
l'equazione (nel dominio) non ha soluzioni. Infatti la radice quadrata non potra' mai essere = ad un numero negativo....
Quindi

[math] 1-x^2= \frac{9}{16}x^2 \to \frac{25}{16}x^2=1 \to x^2= \frac{16}{25} [/math]

E quindi

[math] x_1= \frac45 [/math]
e
[math] x_2=- \frac45 [/math]

x1 non e' accettabile per quanto detto sopra (il concetto si rende con il sistema tra: C.Esistenza della radice (che ho tralasciato), condizione di positivita' del secondo termine (quello senza radice) e infine uguaglianza tra i quadrati).

Quindi l'unica intersezione sara' in x2

Aggiunto 12 ore 8 minuti più tardi:

Positivita' della funzione.

Si tratta di risolvere la disequazione:

[math] 4 \sqrt{1-x^2}+3x > 0 \to 4 \sqrt{1-x^2}>-3x [/math]

Ricordiamo qui un po' di teoria, sulle disequazioni irrazionali..

Sia la disequazione generica
[math] \sqrt{p(x)}>q{x} [/math]

Allora, quando q(x)<0, se la radice esiste, la disequazione e' sempre verificata
Quando q(x)>=0, invece, se la radice di p(x) e' maggiore di q(x) anche i rispettivi quadrati lo saranno. Questo si traduce nell'unione delle soluzioni dei due sistemi:

[math] \{q(x)<0 \\ p(x) \ge 0 [/math]
[math] U \ \{q(x) \ge 0 \\ p(x)>q^2(x) [/math]

Nel nostro caso, trattandosi di studio di funzione, abbiamo gia' stabilito il dominio.

Quindi la disequazione p(x)>=0 (la seconda del primo sistema) l'abbiamo gia' considerata.

Pertanto nel dominio, la funzione e' positiva in
[math] -3x<0 \to x>0 [/math]
e quindi nell'intervallo
[math](0,1] [/math]

Per quanto riguarda il secondo sistema avremo

[math] \{x \le 0 \to 16(1-x^2)>9x^2 [/math]

la seconda sara'

[math] 25x^2<16 \to x^2< \frac{16}{25} \to - \frac34 < x < \frac34 [/math]

E quindi, soluzione del secondo sistema
[math] - \frac34 < x \le 0 [/math]

La funzione, complessivamente dunque, e' positiva in
[math] \( - \frac34, 1] [/math]

LIMITI

Non ha alcun senso (anzi e' proprio errore!) studiare i limiti a infinito, dal momento che la funzione non esiste (e' limitata)

I punti di frontiera (-1 e 1) appartengono al dominio, quindi sara' sufficiente studiare il valore dell'immagine (y) per x=-1 e x=1

[math] f(1)=4 \sqrt{0}+3=3 [/math]

[math] f(-1)=4 \sqrt{0} - 3 = -3 [/math]

STUDIO DELLA DERIVATA PRIMA: MASSIMI/MINIMI E CRESCENZA (DECRESCENZA)

La funzione e' la somma di due funzioni, quindi possiamo derivare addendo per addendo

Primo addendo

[math] D[ 4 \sqrt{1-x^2}]= \frac{4}{2 \sqrt{1-x^2}} \cdot -2x = \frac{-4x}{\sqrt{1-x^2}} [/math]

Secondo addendo:
[math] d[+3x]=3 [/math]

Pertanto

[math]y'= \frac{-4x}{\sqrt{1-x^2}}+3 [/math]

Che si annulla in

[math] \frac{-4x}{\sqrt{1-x^2}}+3=0 \to -4x+3\sqrt{1-x^2}=0 \to 3 \sqrt{1-x^2}=4x [/math]

E quindi, ricordando che se 4x<0 l'equazione non ha soluzioni (la radice e' sempre positiva)

[math] \{ x>0 \\ 9(1-x^2)=16x^2 \to 9=25x^2 \to x=\frac35 [/math]

Dimmi se fino a qui e' chiaro..
Lady9Oscar1
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Sisi tutto chiaro...l'ho anche finita! ;)
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