minivanny
minivanny - Habilis - 166 Punti
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Ciao...
io ho questa funzione

y(x)= x + ln (x^2 - 8 )

il suo dominio è x<= -3 u x=> + 3

ma non riesco a determinare la positività y => 0. In che modo devo procedere?
BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
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il dominio e' determinato solo dal logaritmo.

L'argomento dev'essere > 0. Quindi

[math] x^2-8>0 \to x^2>8 \to x<-2 \sqrt2 \ U x>2 \sqrt2 [/math]

Non so dove hai preso -3 e 3.
minivanny
minivanny - Habilis - 166 Punti
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si scusa era un pezzo dell'esercizio che no c'entrava niente...

E per la POSITIVITA? Come procedo?
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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La positività per una simile funzione è una cosa difficile da determinare. Ti consiglio di cercare semplicemente le intersezioni con gli assi e calcolare i limiti e le derivate. Saranno sufficienti a permetterti di tracciare il grafico.
minivanny
minivanny - Habilis - 166 Punti
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l'esercizio mi chiede proprio la positività........
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Mmmmmmmmm..... non è che devi applicare il teorema di esistenza degli zeri e le derivate? Io ti scrivo come farei, poi dimmi tu. Allora, consideriamo la funzione

[math]f(x)=x+\log(x^2-8 )[/math]

il cui dominio è
[math]D=(-\infty,-2\sqrt{2})\cup(2\sqrt{2},+\infty)[/math]
. Calcoliamo innanzitutto i limiti di tale funzione agli estremi degli intervalli:
[math]\lim_{x\to\pm\infty} f(x)=\lim_{x\to\pm\infty} x\left(1+\frac{\ln(x^2-8 )}{x}\right)=\lim_{x\to\pm\infty} x=\pm\infty[/math]

(ho usato il fatto che il logaritmo, all'infinito, viene "mangiato" da qualsiasi potenza della x)

[math]\lim_{x\to\pm2\sqrt{2}} f(x)=-\infty[/math]

dal momento che viene il logaritmo di zero.

Ora, calcoliamo la derivata della funzione f:

[math]f'(x)=1+\frac{2x}{x^2-8}=\frac{x^2+2x-8}{x^2-8}[/math]

Il denominatore di questa funzione è sempre positivo sul dominio. Per il numeratore hai

[math]x^2+2x-8\geq 0\ \Rightarrow\ x\leq -4,\ x\geq 2[/math]

La derivata prima è quindi positiva sugli intervalli

[math](-\infty,-4)\cup(2,+\infty)[/math]

Se controlli l'intersezione con il dominio, ricavi allora che sul dominio la derivata è positiva su

[math](-\infty,-4)\cup(2\sqrt{2},+\infty)[/math]

Questo ti dice che sull'intervallo
[math](2\sqrt{2},+\infty)[/math]
la funzione cresce sempre. Passando essa da meno infinito a più infinito agli estremi dell'intervallo, accade che essa ha una sola intersezione con l'asse delle x in un punto
[math]\alpha\in(2\sqrt{2},+\infty)[/math]
(questo per il teorema di esistenza degli zeri).
Sull'altro intervallo invece la funzione ha un massimo in
[math]x=-4[/math]
che vale
[math]f(-4)=-4+\log 8<0[/math]

per cui su tale intervallo la funzione rimane sempre sotto questo valore, che è negativo, e quindi risulta sempre negativa.

In conclusione la funzione è

[math]f>0\qquad (\alpha,+\infty)\\ f=0 \qquad x=\alpha\\ f<0\qquad (-\infty,-2\sqrt{2})\cup(2\sqrt{2},\alpha)[/math]

Spero sia chiaro.
minivanny
minivanny - Habilis - 166 Punti
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Chiarissimo!!!! :-)

Però da sola non ci sarei MAI e dico MAI arrivata.....................
ho 2 domande:

1. perchè bisognaintersecarla col dominio?
2. se avessi tentato di risolverla graficamente? Mi spiego: metto a sistema

y = ln (x^2 - 8 )
y' = - x

........in realtà saprei risolvere solo la seconda, che è una retta....cioè inserisco dei valori ---> se y=0 x =0; se y= 1 x= -1.
BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
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Quando studi la derivata della funzione, dove la funzione non esiste non ha alcun significato valutarne la derivata..

Ecco perche' comunque devi intersecarla con il dominio. Se la funzione non esiste in alcuni intervalli, la derivata (che ti ricordo esprime l'andamento del coefficiente angolare delle rette tangenti alla funzione) non ha senso. Come puo' esistere una retta tangente ad una funzione che in quell'intervallo non esiste?

2)La soluzione grafica evidenzia (in maniera sicuramente meno algebrica) la presenza di un' intersezione tra le funzioni e pertanto, se il disegno e' abbastanza preciso, dovrebbe mettere in risalto i punti in cui una funzione sta sopra/sotto l'altra.

Indubbiamente ti fornisce (ribadisco, se il disegno e' fatto bene) un'informazione relativa alle intersezioni tra le due funzioni (che pero' quando le funzioni sono piu' complesse, potrebbe essere poco chiaro), inoltre ti da' un'idea di dove questo punto "alfa" possa trovarsi.

Al fine di disegnare la funzione logaritmica, tenuto presente il dominio, puoi ragionare cosi':

la funzione e' pari, infatti
[math] \ln (x^2-8 )= \ln ((-x)^2-8 ) [/math]

Pertanto la funzione e' simmetrica rispetto all'asse y.

Per x> 2 radice 2, avremo la funzione logaritmica. Per x=3 avremo log 1 = 0, quindi interseca l'asse x nel punto (3,0) (e per simmetria nel punto (-3,0). Nei punti di confine del dominio tendera' a - infinito, e andra' a + infinito per x --> + infinito (specularmente anche per x--> - infinito andra' a piu' infinito).

Il metodo suggerito da Ciampax e' indubbiamente il piu' preciso.

Ti ho aggiunto questa risposta per spiegarti, comunque, come eventualmente avresti dovuto procedere per il disegno della funzione.

Poi ovviamente piu' x scegli per la funzione logaritmo, piu' preciso sara' il risultato.
minivanny
minivanny - Habilis - 166 Punti
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Si ok, ho capito grazie! Si in effetti mi verrebbe il grafico molto più preciso.

Ringrazio tutti per l'aiuto!!!!
BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
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Prego!
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