Ve1701
Ve1701 - Ominide - 11 Punti
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Salve a tutti. Qualcuno riuscirebbe a risolvermi questo studio di funzione con dominio, segno, intersezioni asse x ed y? Grazie!

y = [(2x)÷(3x^2 + 12)] + [1÷(3x^2)]

antore91
antore91 - Genius - 2152 Punti
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Ciao,
ti scrivo alcuni consigli su cosa fare per iniziare lo studio di funzione.
Innanzi tutto riscrivo il testo della funzione, sperando di aver capito bene,:

[math] y= \frac{2x}{3x^2+12}+\frac{1}{3x^2} [/math]

Comincia con lo studio del dominio.
Si tratta di una funzione fratta, per cui devi imporre che i due denominatori siano diversi da zero.

Una volta trovato il dominio, si prosegue con l'intersezione degli assi.
Per l'asse x bisogna risolvere la seguente equazione:

[math] \frac{2x}{3x^2+12}+\frac{1}{3x^2} =0[/math]

Per l'asse y,invece,bisogna valutare la funzione in x=0,ovverro mettere al posto della x il valore zero e risolvere.

Per studiare il segno della funzione bisogna svolgere la disequazione:

[math] \frac{2x}{3x^2+12}+\frac{1}{3x^2} \geq 0[/math]

Lascio a te i calcoli.
Se hai bisogno chiedi pure.
Saluti :-)
Ve1701
Ve1701 - Ominide - 11 Punti
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Si, grazie. So come si devono calcolare dominio, ...
Però, all'inizio ho scomposto i denominatori e ho portato a denominatore comune (dopo aver calcolato il dominio) e ho ottenuto questa funzione che poi ho continuato ad utilizzare per calcolo del segno, intersezioni asse x ed y. Questo è il testo che ho usato: y = (2x^3+x^2+4):[3x^2(x^2+4)]
Solo che, ho dei problemi nel segno a calcolare il numeratore perché ho una disequazione di grado superiore al secondo e trovo altri problemi nel calcolare intersezioni asse x poiché mi trovo davanti una equazione di grado superiore al secondo della quale ho provato a svolgerne i calcoli con la scomposizione di Ruffini senza però ottenere alcun risultato. Poi, se non ho sbagliato dei calcoli, come intersezioni dell'asse y mi esce che non esistono intersezioni con l'asse y.
Se riuscissi a farmi i calcoli te ne sarei molto grata!
Grazie mille ancora!!!

ciampax
ciampax - Tutor - 29252 Punti
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Vediamo un po?...

Per il dominio basta imporre che

[math]3x^2+12\not=0,\qquad 3x^2\not=0[/math]
per cui, dal momento che la prima non ha soluzioni (somma di quantità positive) si ricava solo
[math]x\not=0[/math]
. Pertanto il dominio risulta
[math]D=(-\infty, 0)\cup(0,+\infty)[/math]
Da questo possiamo dedurre che non ci sono intersezioni con l'asse delle ordinate (dobbiamo escludere l'origine dal grafico), mentre per l'intersezione con l'asse delle ascisse dobbiamo calcolare
[math]y=\frac{2x}{3x^2+12}+\frac{1}{3x^2}=0\\ \Rightarrow\ \frac{2x^3+x^2+4}{3x^2(x^2+4}=0[/math]
e quindi
[math]2x^3+x^2+4=0[/math]
Per risolvere questa equazione dobbiamo applicare il Teorema di Ruffini: è facile convincersi che i divisori interi di 4 non possono essere presi come soluzioni, per cui la soluzione (ce ne è sicuramente almeno una visto che il polinomio è di terzo grado) non è un numero intero. Si può provare a disegnare i grafici delle funzioni
[math]2x^3,\ -x^2-4[/math]
per cercare tale soluzione: si ricava, almeno graficamente, che tale soluzione è un punto negativo minore di
[math]-1[/math]
ma maggiore di
[math]-2[/math]
(infatti nell'intervallo
[math][-2,-1][/math]
il polinomio di terzo grado cambia segno). Se indichiamo con
[math]x=\alpha[/math]
tale valore, la funzione risulta avere un unico punto di intersezione in
[math]A(\alpha;0)[/math]
con l'asse delle x.
Infine, per il segno, dal momento che il denominatore della frazione è sempre positivo sul dominio, basta risolvere la disequazione
[math]2x^3+x^2+4>0[/math]
, la quale ci porta a concludere che la funzione risulta positiva quando
[math]x>\alpha[/math]
.
antore91
antore91 - Genius - 2152 Punti
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Ciao Ciampax,
da dove viene:

[math]9x^3+12=0[/math]
se al numeratore abbiamo:
[math]6x^3+3x^2+12[/math]

fammi sapere. perché a me non tornano alcune cose.
saluti.
ciampax
ciampax - Tutor - 29252 Punti
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# antore91 : Ciao Ciampax,
da dove viene:
[math]9x^3+12=0[/math]
se al numeratore abbiamo:
[math]6x^3+3x^2+12[/math]

fammi sapere. perché a me non tornano alcune cose.
saluti.

Pardon, avevo fatto i conti di fretta. Ho corretto sopra.
antore91
antore91 - Genius - 2152 Punti
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Ciao Ciampax,
lo avevo intuito.
Spero ora sia chiaro per Ve1701.
Saluti :-)

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