insule23
insule23 - Sapiens - 509 Punti
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salve avrei bisogno di aiuto con lo studio della convergenza della serie:

[math]\sum_{n=1}^{\infty } sin(n!)2^{-n^2-log(n)+cos (n)}[/math]

grazie
rino6999
rino6999 - VIP - 7008 Punti
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prima di tutto,la serie non è a termini positivi ; come ben sai a noi invece fa comodo trattare con serie di questo tipo per poter applicare i vari criteri di convergenza
consideriamo allora la serie di termine generale
[math]|sin(n!)|2^{-n^2-log(n)-cos(n)}[/math]
tenendo conto del fatto che
[math]|sinx|\leq1[/math]
e guardando bene l'esponente,la serie è maggiorata dalla serie di termine generale
[math]2^{-n^2}[/math]
non dovrebbe risultarti difficile verificare, con il criterio del rapporto, che questa serie è convergente
quindi,la tua serie di partenza non solo converge semplicemente ma anche assolutamente
insule23
insule23 - Sapiens - 509 Punti
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scusa ma non ho capito...
mi potresti dire cosa maggioro e cosa devo usare il criterio del rapporto...
inoltre che fine fa il log e il cos dell'esponenziale..
ti prego fammi sapere..
grazie..
rino6999
rino6999 - VIP - 7008 Punti
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la maggiorazione serve proprio ad avere a che fare una serie con un termine generale più semplice
spero che non ti sfugga che
[math]|sin(n!)|2^{-n^2-logn-cosn}<2^{-n^2}[/math]

inoltre,conosci il criterio del rapporto ?
conosci i criteri di confronto?
insule23
insule23 - Sapiens - 509 Punti
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si li conosco questi due criteri.. ma non riesco ad applicarli...
inoltre come mai si ha
[math]|sin(n!)|2^{-n^2-logn-cosn}<2^{-n^2}[/math]

e non

[math]|sin(n!)|2^{-n^2-logn-cosn}<2^{-n^2-logn-cosn}[/math]

perchè scompaiono il log e il coseno...
mi puoi aiutare..sto andando in confusione..
rino6999
rino6999 - VIP - 7008 Punti
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io ti voglio aiutare però tu cerca di essere un po' più ricettiva
come ho già detto,vogliamo arrivare ad una serie con un termine generale più semplice possibile
è vera la seconda disuguaglianza,ma è vera anche la prima
quindi non parliamo di log e cos scomparsi(non stiamo facendo un gioco di prestigio) ma diciamo più correttamente che ci fa più comodo usare la prima disuguaglianza
sei d'accordo che,da un certo n in poi,si ha
[math]2^{-n^2-logn-cosn}<2^{-n^2}[/math]

spero di sì
ora ,concentrati sulla serie che ha come termine generale
[math]2^{-n^2} [/math]
e cerca di dimostrarne la convergenza con il criterio del rapporto
insule23
insule23 - Sapiens - 509 Punti
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ho provato a farlo...correggimi se è sbagliato...
Calcoliamo
[math]a_{n+1}[/math]

[math]a_{n+1}=2^{-\left (n+1 \right )^2}=2^{-n^2-2n-2}[/math]

Passiamo ora al calcolo del limite
[math]\lim_{n \to +\infty }\left ( \frac{a_{n+1}}{a_{n}} \right )=[/math]

[math]\lim_{n \to +\infty }\left ( \frac{2^{-n^2-2n-2}}{2^{-n^2}} \right )=[/math]

[math]\lim_{n \to +\infty }2^{-2\left (n+1 \right )}=[/math]

[math]\lim_{n \to +\infty }2 ^{\lim_{n \to +\infty }{-2\left (n+1 \right )}}=[/math]

[math]=2^{-\infty }=\frac{1}{2}^{\infty }=0< 1[/math]

La serie per il criterio del rapporto diverge, e quindi diverge anche la serie data...
è giusto.. fammi sapere.. grazie
rino6999
rino6999 - VIP - 7008 Punti
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insule ,hai fatto tutti i calcoli bene e poi mi sbagli la conclusione ?
il teorema dice esattamente il contrario : la serie converge e quindi converge anche la serie data
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