innamorato89
innamorato89 - Erectus - 86 Punti
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mi sapreste eseguire lo studio completo di qst funzione fino alla derivata seconda? f(x)=ln((x^2-4)/(x^2-9)) ....mi serve per l'esame di maturità =( vorrei esser spiegato tutti i vari passaggi dal dominio fino alla derivata seconda..grazie mille in anticipo
bimbozza
bimbozza - Genius - 19548 Punti
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ops, non avevo visto la doppia parentesi...

Dominio:
[math]\frac{x^2-4}{x^2-9}>0[/math]
che ha soluzione x>3, -2<x<2, x<-3

Simmetria:
[math]f(-x)=ln (\frac{(-x)^2-4}{(-x)^2-9})=ln ( \frac{x^2-4}{x^2-9})[/math]
la funzione è simmetrica rispetto all'asse delle y quindi possiamo semplificare i calcoli studiando la funzione da 0 a + infinito

Intersezioni con gli assi:

[math]\left{
ln ( \frac{x^2-4}{x^2-9})\\
x=0\\
[/math]

ci dà (0,ln (4/9))

[math]\left{
ln ( \frac{x^2-4}{x^2-9})\\
y=0\\
[/math]

che non ha soluzioni quindi non ci sono intersezioni con l'asse x.

Asintoti verticali

[math]lim_{x \to 2} \frac{x^2-4}{x^2-9})= - \infty[/math]
[math]lim_{x \to 3} \frac{x^2-4}{x^2-9})= \infty[/math]

Asintoti orizzontali:

[math]lim_{x \to \infty} \frac{x^2-4}{x^2-9})= 0[/math]
quindi l'asse delle ascisse è un asintoto per la funzione

Derivata prima:

[math]f'(x)=- \frac{10x}{x^4-13x^2+36}[/math]

poniamola >0 per vedere l'andamento della funzione

[math]- \frac{10x}{x^4-13x^2+36}>0[/math]

che,non ha soluzioni nella restrizione del dominio operata (quindi è sempre descrescente a destra dell'asse y e sempre crescente a sinistra dall'asse y)

Derivata seconda:
[math]f''(x)= \frac {10(3x^4-13x^2-36)}{(x^4-13x^2+36)^2}[/math]

poniamola >0 per studiare la convessità della funzione:
[math] \frac {10(3x^4-13x^2-36)}{(x^4-13x^2+36)^2}>0[/math]

che, nel nostro dominio ristretto ha soluzione x>3 quindi la funzione ha concavità rivolta verso l'alto per x>3 e verso il basso nell'intervallo (0,2).

Adesso che hai studiato ciò che succede a destra dell'asse y, disegna il grafico e riportalo speculare anche dall'altra parte dell'asse delle y.

Per ogni dubbio chiedi pure.

Stefania
bimbozza
bimbozza - Genius - 19548 Punti
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domanda: l'argomento del logaritmo è solo la prima parentesi o tutta la frazione?
innamorato89
innamorato89 - Erectus - 86 Punti
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tutta la frazione
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