Incognita X
Incognita X - Sapiens Sapiens - 1643 Punti
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Ciao.

Sto cercando di studiare la funzione
[math]\frac{x-1}{x+1}[/math]
. Ma ho delle difficoltà nella determinazione degli asintoti. Mi dareste gentilmente una mano?
DOMINIO

Il dominio della funzione è
[math]\mathbb{R}-\left\{-1\right\}[/math]
(poiché il denominatore si annulla se
[math]x = -1[/math]
).
SIMMETRIE E PERIODICITÀ

Non ha particolari simmetrie e periodicità. Infatti:

[math]f(x) \neq f(-x) \rightarrow \frac{x-1}{x+1} \neq \frac{-x-1}{-x+1}[/math]
(La funzione non è pari)
[math]f(-x) \neq -f(x) \rightarrow \frac{-x-1}{-x+1} \neq -\frac{x-1}{x+1}[/math]
(La funzione non è dispari)
POSITIVITÀ

Svolgo la seguente disequazione:

[math]\frac{x-1}{x+1} > 0[/math]

[math]N > 0 \rightarrow x-1>0 \rightarrow x>1[/math]

[math]D > 0 \rightarrow x+1>0 \rightarrow x>-1[/math]



Quindi la funzione è definita in

[math]y>0[/math]
per
[math]x<-1[/math]
e
[math]x>1[/math]

[math]y<0[/math]
per
[math]-1<x<1[/math]

INTERSEZIONE CON GLI ASSI

Metto a sistema l'equazione con gli assi cartesiani, ossia con le rette
[math]x=0[/math]
e
[math]y=0[/math]
.
Intersezione ASSE X:
[math]
\begin{cases}
&y=0
&y=\frac{x-1}{x+1}
\end{cases}
[/math]

[math]
\begin{cases}
&y=0
&0=\frac{x-1}{x+1} \rightarrow x=1
\end{cases}
[/math]

Intersezione ASSE Y:
[math]
\begin{cases}
&x=0
&y=\frac{x-1}{x+1}
\end{cases}
[/math]

[math]
\begin{cases}
&x=0
&y=-1
\end{cases}
[/math]

Adesso sorgono i problemi... per gli asintoti.

ASINTOTI VERTICALI

Per trovare gli asintoti verticali devo calcolare il limite destro e sinistro della funzione tendente ai punti in cui il dominio non è definito (nel mio caso -1).

[math]\lim_{x \rightarrow -1^{\pm}} (\frac{x-1}{x+1}) = \mp \infty[/math]

ASINTOTI ORIZZONTALI

[math]\lim_{x \rightarrow \infty} (\frac{x-1}{x+1}) = \lim_{x \rightarrow \infty} (\frac{x(1-\frac{1}{x})}{x(1+\frac{1}{x})}) = \lim_{x \rightarrow \infty} (\frac{1-\frac{1}{x}}{1+\frac{1}{x}}) = 1[/math]

ASINTOTI OBLIQUI

In questo caso non esistono, perché esiste già l'asintoto orizzontale.

INDIVIDUAZIONE ESTREMANTI

[math]D[f(x)]=0 \rightarrow \frac{2}{(x+1)^2}=0 \rightarrow \nexists x \in \mathbb{R}[/math]

Nessun estremante = nessun massimo e minimo né flessi.

GRAFICO

Questa risposta è stata cambiata da The Mascheroni CAD Team (20-01-13 19:41, 3 anni 10 mesi 17 giorni )
BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
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Il limite puoi calcolarlo in maniera "intuitiva".

Il numeratore e', a prescindere dall'intorno preso (sinistro o destro), -2.

Pertanto il numeratore e' negativo.

Il denominatore, per x-->-1 da destra, sara'
[math] -1^++1 = 0^+ [/math]

Infatti se ha un numero infinitamente prossimo a -1, ma comunque piu' grande di -1, aggiungi 1, ottieni un numero infinitamente prossimo a zero ma piu' grande di 0
(Se vuoi un consiglio, in maniera intuitiva, sostituisci a
[math] -1^+ [/math]
ad esempio, -0,99 ed esegui la somma. Otterrai 0,01 che conferma un numero leggermente piu' grande di 0).
A questo punto il limite sara'
[math] - \infty [/math]
dal momento che hai una frazione
[math] \frac{(-)}{(+)} [/math]
al cui numeratore hai un numero finito e al denominatore un valore prossimo a zero (il rapporto pertanto sara' infinito)
Analogamente con -1 da sinistra otterrai che il limite tende a
[math] + \infty [/math]
Incognita X
Incognita X - Sapiens Sapiens - 1643 Punti
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Grazie mille. Quindi esiste un asintoto verticale in -1 e la funzione è simile ad una iperbole (o sbaglio?), dato che il valore del limite è
[math]\pm \infty[/math]
. I limiti li dovrei rivedere, perché ho sempre qualche difficoltà.
Pian piano modificherò il post precedente così cercherò di fare un grafico preciso della funzione.
BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
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Dal momento che l'equazione canonica dell'iperbole e'

[math] y= \frac{ax+b}{cx+d} [/math]

direi che la funzione e' proprio un iperbole

(con a=1, b=1, c=1, d=-1)

Il limite a sinistra dell'asintoto e' +infinito, a destra e' -infinito.

Esistono asintoti orizzontali.
Incognita X
Incognita X - Sapiens Sapiens - 1643 Punti
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BIT5: Dal momento che l'equazione canonica dell'iperbole e'

[math] y= \frac{ax+b}{cx+d} [/math]

direi che la funzione e' proprio un iperbole

(con a=1, b=1, c=1, d=-1)

Il limite a sinistra dell'asintoto e' +infinito, a destra e' -infinito.

Esistono asintoti orizzontali.

Ah, giusto! Non l'ho notato subito perché mi ricordavo la forma
[math]\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=\pm1[/math]
.
BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
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Certo, cambia l'equazione a seconda dell'orientamento dell'iperbole..

L'equazione canonica che ricordi tu, e' orientata secondo gli assi (ovvero ha gli asintoti simmetrici rispetto all'asse y)

Quella canonica che ho scritto io, ha gli asintoti paralleli agli assi cartesiani.

Le due equazioni sono frutto di una rototraslazione generica della stessa funzione :pp
Incognita X
Incognita X - Sapiens Sapiens - 1643 Punti
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Ma allora devo aver sbagliato a svolgere la disequazione... perché mi risulta che

y>0 per x<-1 e x>1

Quindi la funzione (le parti in cui la funzione non può esistere sono in grigio) dovrebbe esistere nelle parti bianche del seguente grafico:



E in questo schema immaginerei più una parabola che un iperbole... dove sta l'errore?
BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
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perche' hai sbagliato?

il primo ramo dell'iperbole sta tutto nel primo spazio bianco ("parte" da 1 (asintoto orizzontale) e va a + infinito per x--> -1

il secondo parte da -1, taglia l'asse y e passando per il punto (0,1) va a +1 (asintoto orizzontale.)

La funzione e' sempre crescente.
Incognita X
Incognita X - Sapiens Sapiens - 1643 Punti
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Ah, vero! Ho pure scritto le intersezioni con gli assi... :dozingoff

Ora però dovrei trovare i massimi e i minimi (relativi e assoluti) della funzione. Per trovarli devo calcolare la derivata della funzione stessa.

Quindi, se non erro...

[math]D[\frac{x-1}{x+1}] = \frac{2}{(x+1)^2}[/math]

E adesso devo risolvere la disequazione
[math]\frac{2}{(x+1)^2}>0[/math]

Ma perché per trovare i minimi e i massimi di una funzione devo risolvere la disequazione della derivata prima della funzione?
BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
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La derivata prima e' la funzione che esprime l'andamento dei coefficienti angolari delle rette tangenti alla funzione.

Pertanto trovare quando la derivata prima e' positiva, significa evidenziare gli intervalli in cui i coefficienti angolari delle rette tangenti sono positivi.

Tutte le rette con coefficiente angolare positivo sono parallele alle rette che , passanti per l'origine, stanno nel I e III quadrante.

E come puoi notare, se la retta tangente alla funzione ha pendenza positiva, significa che la funzione stessa ha un andamento crescente (ovvero e' "inclinata" come detto sopra)

Studiando la derivata prima, pertanto, hai in evidenza anche i punti in cui le rette "invertono" la pendenza che sono pertanto punti di massimo e minimo (relativi o assoluti) proprio perche' in questi punti (a tangente 0) la funzione inverte l'andamento.

Attenzione che i punti di massimo e minimo hanno derivata prima = 0 , ma non e' altrettanto vero che se un punto di una funzione ha tangente zero, allora questo e' un punto di massimo/minimo (potrebbe trattarsi infatti di un flesso a tangente orizzontale..)
Incognita X
Incognita X - Sapiens Sapiens - 1643 Punti
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Grazie per la spiegazione!

Quindi per determinare se è presente un massimo o un minimo devo studiare la derivata prima... se la funzione prima decresce e poi cresce ( \/ ) allora avrà un minimo in quel punto, viceversa se prima cresce e poi descresce ( /\ ) avrà un massimo.

Provo a studiare il segno della derivata prima della funzione.

[math]\frac{2}{(x+1)^2}>0[/math]


[math]N>0 \rightarrow 2>0 \forall x \in \mathbb{R}[/math]

[math]D>0 \rightarrow (x+1)^2>0 \rightarrow \forall x \in \mathbb{R}[/math]
con
[math]x \neq -1[/math]
romano90
romano90 - Genius - 8755 Punti
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Hai sbagliato il segno al denominatore :P


la derivata come avevi scritto prima è :
[math]D = \frac{2}{(x+1)^2}[/math]
ed è sempre maggiore di 0, quindi la tua funzione è crescente
Incognita X
Incognita X - Sapiens Sapiens - 1643 Punti
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romano90: Hai sbagliato il segno al denominatore :P


la derivata come avevi scritto prima è :
[math]D = \frac{2}{(x+1)^2}[/math]
ed è sempre maggiore di 0, quindi la tua funzione è crescente

Errore di distrazione. Grazie! :P
romano90
romano90 - Genius - 8755 Punti
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Lo so, infatti l'avevi scritta giusta prima :p
BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
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Comunque fai attenzione, perche' quando hai una disequazione

[math] (x \pm a)^{2n} > 0 [/math]

(ovvero un binomio elevato ad esponente pari)

Questa e' SEMPRE verificata tranne nel punto
[math] x= \mp a [/math]

Risolvendola come l'hai impostata tu, sbagli, perche' un valore al quadrato non e' MAI negativo!

Pagine: 12

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