romano90
romano90 - Genius - 8755 Punti
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Problema di trigonometria:
Sia ABC un triangolo equilatero inscritto in una circonferenza di raggio r. Considera una corda CD interna all'angolo ACB, e su CD un punto E tale che AD sia circa DE. Dopo aver dimostrato che il triangolo ADE è equilatero, esprimi in funzione di x=ACD il perimetro del triangolo AEC. Determina poi per quale valore di x il perimetro misura (2+rad3)r.

help o.o
mathmum
mathmum - Erectus - 50 Punti
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Intanto una precisazione sul testo. AD=DE, non "circa"!

Disegna il triangolo equilatero, traccia la corda CD, Traccia AD e DE=AD su CD.

Considera il triangolo ADE.
Poichè sai già che AD=DE, allora il triangolo è sicuramente isoscele, quindi gli angoli alla base, DAE e DEA sono congruenti.

Ora guarda l'angolo ADE. E' l'angolo alla circonferenza sotteso dalla corda AC che è il lato del triangolo equilatero. Quindi misura per forza 60°. Il triangolo ADE è equilatero perchè se l'angolo in D vale 60° e gli altri due sono uguali, ognuno di essi misurerà (180°-60°)/2=60°.

A questo punto passiamo al triangolo AEC.
AC=2rsen60° perchè lato del triangolo equilatero inscritto (o col teo della corda, come vuoi)
AE=AD=2rsenx (teo della corda)
CE lo trovi per differenza: CE=CD-DE

Rimane da calcolare CD. CD è una corda. Se consideri il triangolo DAC, ha l'angolo in D=60° e l'angolo in C=x. Quindi l'angolo in A misura 180-60°-x=120°-x.
Ma l'angolo in A è proprio l'angolo alla circonferenza sotteso dalla corda CD.
Per il Teo della corda allora CD=2rsen(120°-x)

Hai tutti gli ingredienti per calcolare il perimetro e risolvere l'equazione.
Ricordati di fare i casi limite che ti dicono quali sono i valori della x soluzione che potrai accettare.
ciao
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