Ayumi92
Ayumi92 - Erectus - 129 Punti
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x^2+y^2=16
2x+y+k=0
x>0; y>0
BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
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Inizi dalla seconda, considerando k un numero.

[math] y=-k-2x [/math]

e sostituisci nella prima

[math] x^2 + (-k-2x)^2 =16 \to x^2+k^2+4kx+4x^2-16=0 \to 5x^2 +4kx-16+k^2 [/math]

a questo punto risolvi con la formula (ripeto, k è un numero), ridotta dal momento che il coefficiente di x è 4k che è sicuramente un numero pari (ovvero divisibile per 2)

[math] x_{1,2} = \frac{-2k \pm \sqrt{4k^2-5(k^2-16)}}{5} [/math]

[math] x_{1,2}= \frac{-2k \pm \sqrt{4k^2-5k^2+80}}{5} [/math]

[math] x_{1,2} = \frac{-2k \pm \sqrt{-k^2+80}}{5} [/math]

a questo punto:

se
[math] -k^2 +80>0 \to k^2-80<0 \to -4 \sqrt{5}<k<4 \sqrt{5} [/math]

allora abbiamo due soluzioni reali e distinte:

[math] x_1= \frac{-2k+ \sqrt{-k^2+64}}{5} \ e \ x_2= \frac{-2k- \sqrt{-k^2+64}}{5} [/math]

Ma dobbiamo ricordarci che
[math]x>0[/math]

Pertanto dobbiamo verificare:

[math]x_1>0 \to \frac{-2k+ \sqrt{-k^2+64}}{5}>0 \to -2k+ \sqrt{-k^2+64}>0 [/math]

ovvero

[math] \sqrt{-k^2+64}>2k [/math]

Siamo nell'intervallo
[math] -4 \sqrt{5}<k<4 \sqrt{5} [/math]

Se
[math] k<0 [/math]
(ovviamente nell'intervallo in cui stiamo studiando, quindi
[math] -4 \sqrt{5} <k<0 [/math]
) la disequazione è sempre verificata
Se
[math] k>0 [/math]
allora eleviamo ambo i membri al quadrato e
[math] -k^2+64>4k^2 \to 5k^2<64 \to \frac{-8 \sqrt{5}}{5} < k < \frac{8 \sqrt{5}}{5} [/math]

siamo con k>0 , ovvero nell'intervallo
[math] 0<k<4 \sqrt{5} [/math]
,e dal momento che
[math] \frac{8 \sqrt{5}}{5}<4 \sqrt{5} [/math]
, possiamo prendere questa soluzione solo nell'intervallo ristretto
[math] -4 \sqrt{5} <k < \frac{8 \sqrt{5}}{5} [/math]

e di conseguenza, dalla seconda, sostituisci e trovi i valori di y, sui quali fai la verifica del segno.

Analogo ragionamento per
[math] x_2 [/math]
ti porterà a vedere che per k positivo non ci sono soluzioni, mentre per k negativo......
Per
[math] k= \pm 4 \sqrt{5} [/math]

abbiamo due soluzioni coincidenti

[math]x_{1,2}= -2k/5 [/math]
che per
[math] k=4 \sqrt{5}[/math]
è negativa (e quindi non accettabile perchè tu hai scritto x>0) mentre per
[math]k=-4 \sqrt{5}[/math]
vale
[math] \frac{8 \sqrt{5}}{5} [/math]
, accettabile perchè >0
Dalla seconda ti ricavi il valore di y.

Per l'intervallo mancante (ovvero
[math] k<-4 \sqrt{5} \ U \ k> 4 \sqrt{5} [/math]
)non ci sono soluzioni di x ( e quindi tantomeno di y...)
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