miik91
miik91 - Sapiens Sapiens - 811 Punti
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Salve a tutti. Oggi ho a che fare con questa specie di sistema che non riesco perfettamente a risolvere: trovo solo una delle soluzioni cercate ed in ogni caso non sono sicuro dello svolgimento. Qualcuno potrebbe spiegarmi come si risolvono questo tipo di esercizi?

[math]\Re(z^2)+Im(\bar{z}*(1+2i))=3[/math]

[math] arg(z)=\pi[/math]
Newton_1372
Newton_1372 - Genius - 2097 Punti
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Bisogna sempre porre z = x+iy con x e y reali, il metodo è sempre quello.
RIsolviamo la prima. Se z è x+y, si ha
[math]z^2 = (x+iy)^2=x^2-y^2-2ixy\\coniugato(z)=x-iy\\coniugato(z)*(1+2i)=(x-iy)(1+2i)=x+2ix-iy+y^2=x+y^2+i(2x-y)[/math]
Ora, l'equazione vuole che io prenda la parte REALE di z^2 e la parte IMMAGINARIA di coniugato z (1+2i). L'equazione quindi diventa
[math]x^2-y^2+2x-y=3[/math]

Aggiunto 4 minuti più tardi:

Espressione che ha infinite soluzioni, trovabili mettendo x in funzione di y:
[math]x^2+2x-y^2-y-3=0\\delta=4+4(y^2+y+3)\\x=\frac{-2(+-)2\sqrt{y^2+y+3}}{2}=-1(+-)\sqrt{y^2+y+3}[/math]

Aggiunto 1 minuti più tardi:

le soluzioni delle equazioni sotto tutti i numeri complessi x+iy che rispettano questa relazione
[math]x=-1(+-)\sqrt{y^2+y+3}[/math]
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Guardate che la richiesta sul valore dell'argomento è fondamentale! Se
[math]\theta=\arg(z)[/math]
allora
[math]z=\rho(\cos\theta+i\sin\theta)=-\rho[/math]

per cui le soluzioni devono essere numeri reali negativi. A questo punto l'equazione diventa

[math]\rho^2-2\rho-3=0[/math]

le cui soluzioni sono
[math]\rho_{1,2}=\frac{2\pm 4}{2}[/math]
e quindi c'è una sola soluzione
[math]\rho=3[/math]
da cui
[math]z=-3[/math]
.
miik91
miik91 - Sapiens Sapiens - 811 Punti
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ok ciampax ho capito la prima parte del ragionamento, non capisco da dove esce l equazione in p però. Inoltre la soluzione porta oltre ad z=-3 anche un z=1.
Newton_1372
Newton_1372 - Genius - 2097 Punti
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Uffa credevo fossero due equazioni distinte non un sistema...non ne azzecco una, ho sbagliato tutto? Mi sa che devo ristudiarmi tutto il capitolo sui complessi
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Ma z=1 come equazione non è accettabile! I numeri complessi con argomento pari a
[math]\pi[/math]
sono i numeri reali negativi!!!!!
L'equazione viene così usando la rappresentazione trigonometrica di un numero complesso:

[math]z=\rho(\cos\theta+i\sin\theta)[/math]

Rileggi quello che ho scritto e sostituisci, al posto di
[math]z[/math]
nell'equazione, il valore
[math]z=-\rho[/math]
.
miik91
miik91 - Sapiens Sapiens - 811 Punti
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ok capito grazie mille!!!
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Chiudo.
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