LittleWoman.
LittleWoman. - Sapiens - 469 Punti
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2ax<4a
x^2-(1+2a)x+2a>0
queste diseq. aono messe a sistema. ho discusso la a della prima svolta:
se a >0 x<2
se a<0 x>2
se a=0 0x<0 --> insieme vuoto
mi trovo il delta della seconda viene una eq. di secondo gradi con incognita a e faccio nuovamente il delta ce viene 1/2
se a=1/2 x=/= (diverso) 1 perchè sostituendo 1/2 alla seconda disequzione viene (x^2-1)>0 --> x^2>1 per x=/=1 non so poi come continuare nel libro fa i casi 1/2<a<1 e a>1 ma non so perchè! aiutatemi a completare pleasee!
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Allora, per la prima equazione mi pare che sei a posto. Per la seconda abbiamo
[math]\Delta=(1+2a)^2-8a=(1-2a)^2\ge 0[/math]
. Pertanto:
1) se
[math]a=1/2[/math]
hai una sola soluzione (due coincidenti) pari a
[math]x=\frac{1+2\cdot\frac{1}{2}}{2}=1[/math]
e quindi la disequazione ha come soluzione
[math]x\in\mathbb{R}\setminus{1}[/math]

2) se
[math]a\not= \frac{1}{2}[/math]
si ha
[math]x_{1,2}=\frac{1+2a\pm(1-2a)}{2}\ \Rightarrow\ x_1=2a,\ x_2=1[/math]
.
Ora, osserva che le soluzioni della disequazione sono per valori esterni alle due soluzioni scritte, tuttavia esse devono essere ordinate bene. per cui hai i seguenti casi:

i) se
[math]2a<1\ \Rightarrow\ a<1/2[/math]
allora
[math]x_1<x_2[/math]
e quindi la disequazione ha soluzioni
[math]x<2a,\ x>1[/math]
;
ii) se invece
[math]2a>1\ \Rightarrow a>1/2[/math]
allora
[math]x_1>x_2[/math]
e quindi la disequazione ha soluzioni
[math]x<1,\ x>2a[/math]

A questo punto si tratta solo di mettere insieme tutti i casi per determinare le soluzioni complete del sistema.
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