mate15
mate15 - Bannato - 29 Punti
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salve avrei un aiuto su come poter continuare questo esercizio..
si risolva ,se esiste ,attraverso l'uso di limiti notevoli il seguente limite
[math]\lim_{x \to 0}\frac{log(e^{x}+x)}{sin^{2}x+x^{3}}[/math]


allora io ho iniziato in tal modo..
il limite si presenta nella forma indeterminata
[math]0/0[/math]
quindi scrivo
[math]sin^{2}x[/math]
come
[math](sinx)^{2}[/math]
cioè
[math]\lim_{x \to 0}\frac{log(e^{x}+x)}{(sinx)^{2}+x^{3}}[/math]

quindi al denominatore ricordando il limite notevole del seno,moltiplico e divido per
[math]x[/math]
:
[math]\lim_{x \to 0}\frac{log(e^{x}+x)}{(\frac{sin x}{x}x)^{2}+x^{3}}[/math]


ora però non sò come continuare...
se mi potete aiutare..
grazie
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Idea giusta e puoi usarla anche con il numeratore. Per prima cosa, al denominatore hai il limite notevole per la funzione seno, per cui la frazione ha limite 1 e nella parentesi resta solo
[math]x^2[/math]
. Nell'argomento del logaritmo, invece, puoi scrivere

[math]e^x+x=e^x-1+1+x=\frac{e^x-1}{x}\cdot x+1+x\to x+1+x=1+2x[/math]


ricordando che
[math]\lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}=1[/math]
. Fatto questo, usando il fatto che
[math]\lim_{t\to 0}\frac{\log(1+t)}{t}=1[/math]
abbiamo

[math]\lim_{x\to 0}\log(e^x+x)=\lim_{x\to 0}\log(1+2x)=\\ \lim_{x\to 0}\frac{\log(1+2x)}{2x}\cdot 2x=\lim_{x\to 0} 2x[/math]


Pertanto il limite risulta


[math]\lim_{x\to 0}\frac{2x}{x^2+x^3}=\lim_{x\to 0}\frac{2x}{x^2(1+x)}=\lim_{x\to 0}\frac{2}{x}=\infty[/math]
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