mate15
mate15 - Bannato - 29 Punti
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salve avrei bisogno del vostro aiuto con questa disequazione:
[math]log_{\frac{1}{3}}\left ( sinx-cosx+1 \right )\leq 0[/math]


io ho provato a iniziarla..
Osservando che
[math]log_{\frac{1}{3}}y\leq 0[/math]
se e solo se
[math]y \geq 1[/math]

abbiamo quindi
[math]\left ( sinx-cosx+1 \right )\geq 1[/math]

[math]\left ( sinx-cosx \right )\geq 0[/math]

ora non riesco a risolvere quest'ultima disequazione...
se mi potete aiutare..
grazie..
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Possiamo raccogliere
[math]\cos x[/math]
ottenendo la disequazione equivalente
[math]\cos x(\tan x-1)\ge 0[/math]

A questo punto basta risolvere le due disequazioni

[math]\cos x\ge 0,\qquad \tan x\ge 1[/math]

ed usare il grafico per il calcolo dei segni per trovare la soluzione.
mate15
mate15 - Bannato - 29 Punti
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scusa come hai fatto a raccogliere??
non sto capendo..
se mi puoi aiutare..
grazie..
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Raccogliendo ottieni

[math]\sin x-\cos x=\cos x\left(\frac{\sin x}{\cos x}-1\right)=\cos x(\tan x-1)[/math]
mate15
mate15 - Bannato - 29 Punti
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allora quindi avremo che:
[math]cosx\geq 0\Rightarrow \frac{3}{2}\pi+2k\pi \leq x\leq 2\pi+2k\pi[/math]

e

[math]tanx\geq 1\Rightarrow \frac{\pi }{4}+k\pi \leq x\leq \frac{\pi }{2}+k\pi[/math]

è giusto???
quindi quali sarebbero le soluzione..
se mi puoi aiutare..
fammi sapere.
grazie..
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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La soluzione della prima disequazione non è corretta: quella giusta, presa sull'intervallo
[math][0,2\pi][/math]
è
[math]0\le x\le \frac{\pi}{2}\ \vee\ \frac{3\pi}{2}\le x\le 2\pi[/math]

Allo stesso modo, le soluzioni per la seconda disequazione tra zero e
[math]2\pi[/math]
sono
[math]\frac{\pi}{4}\le x<\frac{\pi}{2}\ \vee\ \frac{5\pi}{4}\le x<\frac{3\pi}{2}[/math]

Per trovare le soluzioni della tua disequazione, basta fare il grafico dei segni.
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