insule23
insule23 - Sapiens - 508 Punti
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salve avrei bisogno del vostro aiuto..
si risolva la disequazione:
[math]arcsin\left ( log_{\tfrac{1}{2}} \left | 1-cos x \right |\right )\cdot \sqrt{sin^{2}x-2sin x}\geq 0[/math]

io ho provato in tal modo:
ci chiede quando quel prodotto è positivo. Siccome il secondo fattore è una radice che per definizione è positiva, il prodotto in esame sarà positivo quando entrambi i fattori lo sono. Quindi va solo verificata che la radice sia nel suo campo di esistenza (radicando >=0) e che l'arcoseno sia positivo.
Preoccupiamoci di questo secondo aspetto. L'arcoseno è positivo se l'argomento è positivo. Il sistema risolutivo è quindi:
log_1/2| (1-cosx)|>=0 condizione di positività del primo fattore
sin^2x-2sinx>=0 condizione di esistenza della radice che è sempre positiva nel suo dominio

ora però non so come risolverlo questo sistema...
se mi potete aiutare
grazie..
insule23
insule23 - Sapiens - 508 Punti
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scusate ma mi è venuto un dubbio riguardo la positività dell'arcoseno..
l'arcocoseno dovrebbe assumere valori positivi se:
[math]0\leq log_{\tfrac{1}{2}}\left | 1-cos x \right |\leq 1[/math]

ovvero
[math]
\begin{cases} log_{\tfrac{1}{2}}\left | 1-cos x \right |& \geq 0\\\
log_{\tfrac{1}{2}}\left | 1-cos x \right | & \leq 1\\
\end{cases}
[/math]

da cui:
[math]\left\{\begin{matrix}
\left | 1-cos x \right |&\geq 1 \\
\left | 1-cos x \right | &\leq 2
\end{matrix}\right.[/math]

otteniamo che dalla prima disequazione:
[math]\frac{\pi }{2}+2k\pi \leq x\leq \frac{3}{2}\pi +2k\pi [/math]
[math]\forall k\in Z[/math]

e dalla seconda
[math]\forall x\in R[/math]

quindi il sistema è verificato per:
[math]\frac{\pi }{2}+2k\pi \leq x\leq \frac{3}{2}\pi +2k\pi [/math]
[math]\forall k\in Z[/math]

e quindi ho risolto il primo fattore >=0.
e corretto?? fatemi sapere..
grazie..
rino6999
rino6999 - VIP - 7008 Punti
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tieni presente che la base del logaritmo è minore di 1 : la funzione logaritmo è decrescente
quindi il sistema da risolvere è
[math]\begin{cases}|1-cosx| \leq 1 \\
|1-cosx| \geq \frac{1}{2}\end{cases}[/math]

a sua volta la prima disequazione equivale al sistema
[math]\begin{cases}1-cosx \leq1 \\
1-cosx \geq -1\end{cases}[/math]

la prima disequazione di questo secondo sistema è verificata per
[math]cosx\geq 0[/math]
mentre la seconda è sempre verificata
quindi la prima disequazione del primo sistema è verificata per
[math]cosx\geq 0[/math]


la seconda disequazione del primo sistema equivale a
[math]1-cosx \geq 1/2[/math]
o
[math]1-cosx\leq -1/2[/math]

di queste 2,la prima è verificata per
[math]cosx\leq 1/2[/math]
mentre la seconda non è mai verificata

per concludere,il primo sistema equivale alla disuguaglianza
[math]0\leq cosx\leq1/2[/math]
insule23
insule23 - Sapiens - 508 Punti
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quindi le soluzioni del sistema sono:
[math]-\frac{\pi }{2}+2k\pi \leq x\leq \frac{\pi }{2}+2k\pi[/math]
e
[math]\frac{\pi }{3}+2k\pi \leq x\leq \frac{5}{3}\pi+2k\pi[/math]

giusto???
per quanto riguarda
[math]\sqrt{sin^{2}x-2sin x}\geq 0[/math]
come la risolvo..
se mi potete aiutare.. grazie..
rino6999
rino6999 - VIP - 7008 Punti
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è giusto,però dovendo mettere a sistema scrivi la soluzione di
[math]cosx \geq 0[/math]
nella forma
[math]2kπ\leq x \leq \frac{π}{2}+2kπ \cup \frac{3}{2}π+2kπ \leq x \leq 2π+2kπ[/math]

per quanto riguarda l'altra questione,posto y=senx,si risolve l'equazione
[math]y^2-2y \geq 0[/math]
che avrebbe come soluzione
[math]y \leq 0 \cup y \geq 2[/math]

essendo y=senx,è accettabile solo
[math]senx \leq 0[/math]
,cioè
[math]π+2kπ \leq x \leq 2π+2kπ[/math]
insule23
insule23 - Sapiens - 508 Punti
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scusa perchè scrivo
[math]cosx \geq 0[/math]
nella forma:
[math]2kπ\leq x \leq \frac{π}{2}+2kπ \cup \frac{3}{2}π+2kπ \leq x \leq 2π+2kπ[/math]

non sto riuscendo a capire.. se mi potresti spiegare..
grazie..
rino6999
rino6999 - VIP - 7008 Punti
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per la rappresentazione grafica del sistema
in questo modo gli intervalli base delle soluzioni sono tutti contenuti nell'intervallo
[math][0,2π][/math]
insule23
insule23 - Sapiens - 508 Punti
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scusa ma non dovrebbe essere che :
[math]0< x_{0}\leq \pi [/math]
???...
Le soluzioni dell'equazione date devo essere:
[math]\pi +2k\pi \leq x\leq \frac{5}{3}\pi +2k\pi [/math]
[math]\forall k\in Z[/math]

è giusto??
fatemi sapere... grazie..
rino6999
rino6999 - VIP - 7008 Punti
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togliamo i
[math]2kπ[/math]
perchè danno fastidio(li puoi sempre aggiungere alla fine)
non so se sei d'accordo ma a me sembra che la soluzione dell'esercizio equivalga alla soluzione del seguente sistema
[math]\begin{cases}0 \leq x \leq \frac {π}{2} \cup \frac{3}{2}π \leq x \leq 2π \\
\frac{π}{3} \leq x \leq \frac{5}{3}π \\
π \leq x \leq 2π\end{cases}[/math]

quindi,la soluzione della disequazione è
[math]\frac {3}{2}π+2kπ \leq x \leq \frac{5}{3}π+2kπ[/math]
insule23
insule23 - Sapiens - 508 Punti
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si sono d'accordo ma non capisco perchè bisogna considerare
[math]cosx \geq 0[/math]
nella forma (1)e non nella forma (2)??
[math]2kπ\leq x \leq \frac{π}{2}+2kπ \cup \frac{3}{2}π+2kπ \leq x \leq 2π+2kπ[/math]
(1)
[math]-\frac{\pi }{2}+2k\pi \leq x\leq \frac{\pi }{2}+2k\pi[/math]
(2)
mi potresti aiutare.. grazie...
rino6999
rino6999 - VIP - 7008 Punti
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evidentemente non mi sono spiegato bene : ci riprovo
quando si rappresenta graficamente il sistema,bisogna usare gli intervalli base,cioè quelli si hanno omettendo il
[math]2kπ[/math]

tutti gli intervalli base devono essere contenuti in un intervallo di ampiezza
[math]2π[/math]
(per la periodicità di seno e coseno)
di solito si prende l'intervallo
[math][0,2π][/math]

l'intervallo base della forma (2) non è contenuto in
[math][0,2π][/math]
mentre gli intervalli base della forma (1) lo sono
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