ale88
ale88 - Erectus - 146 Punti
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Ciao raga!! scusate il disturbo.... qualcuno potrebbe darmi una mano nel risolvere questa serie numerica.....

[math]\sum_{n=1}^\infty\(-1)^n * \frac{\sqrt{n^x+2}-\sqrt{n^x+1}}{(n^2) *(n^x)}[/math]


Grazie....
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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La serie che hai scritto è a segni alterni, quindi va usato il teorema di Leibniz, che qui riporto:

Sia
[math]\sum_{n=n_0}^\infty (-1)^n a_n[/math]
una serie a termini di segno alterno. Se
[math]a_{n}\geq a_{n+1}[/math]
per ogni
[math]n\geq n_0[/math]
e si ha
[math]\lim_{n\rightarrow\infty} a_n=0[/math]
allora la serie converge.

Nel tuo caso
[math]a_n=\frac{\sqrt{n^x+2}-\sqrt{n^x+1}}{n^2\cdot n^x}[/math]
. Iniziamo con il limite: abbiamo, a seconda del valore di
[math]x[/math]

[math]\lim_{n\rightarrow\infty} n^x=\left\{\begin{array}{lcl}
+\infty & & x>0\\ 1 & & x=0\\ 0 & & x<0
\end{array}\right.[/math]

Osserva poi che puoi sempre scrivere

[math]a_n=\frac{n^x+2-n^x-1}{n^2\cdot n^x\left(\sqrt{n^x+2}+\sqrt{n^x+1}\right)}=\frac{1}{n^{2+x}\left(\sqrt{n^x+2}+\sqrt{n^x+1}\right)}[/math]

Ora, a seconda del valore di
[math]x+2[/math]
si ha
[math]\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{1}{x^{n+2}}=\left\{\begin{array}{lcl}
0 & & x>-2\\ 1 & & x=-2\\ +\infty & & x<-2
\end{array}\right.[/math]

Quindi, combinando le due cose dette prima, abbiamo

[math]\lim_{n\rightarrow+\infty} a_n=\left\{\begin{array}{lcl}
0 & & x>-2 \\ \sqrt{2}-1 & & x=-2\\ +\infty & & x<-2
\end{array}\right.[/math]

Dal teorema di Leibniz, segue che gli unici casi da analizzare per determinare la convergenza sono quelli in cui
[math]x>-2[/math]
.
Ora, possiamo scrivere

[math]\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{n^{2+x}\left(\sqrt{n^x+2}+\sqrt{n^x+1}\right)}{(n+1)^{2+x}\left(\sqrt{(n+1)^x+2}+\sqrt{(n+1)^x+1}\right)}[/math]

che diventa, per
[math]x=0[/math]

[math]\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{n^{2}\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)}{(n+1)^{2}\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)}=\frac{n^2}{(n+1)^2}<1[/math]

mentre, avendosi
[math](n+1)^x>n^x[/math]
per
[math]x>0[/math]
, e quindi
[math]\frac{1}{(n+1)^x}<\frac{1}{n^x}[/math]
da cui
[math]\frac{a_{n+1}}{a_n}<\frac{n^{2+x}\left(\sqrt{n^x+2}+\sqrt{n^x+1}\right)}{n^{2+x}\left(\sqrt{n^x+2}+\sqrt{n^x+1}\right)}=1[/math]

Infine, per
[math]-2<x<0[/math]
abbiamo, posto
[math]y=-x[/math]
, per cui
[math]0<y<2[/math]
e quindi
[math]\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{n^{2-y}\left(\sqrt{n^{-y}+2}+\sqrt{n^{-y}+1}\right)}{(n+1)^{2+{-y}}\left(\sqrt{(n+1)^{-y}+2}+\sqrt{(n+1)^{-y}+1}\right)}=
\frac{n^2\cdot\frac{1}{n^y}\cdot\frac{1}{\sqrt{n^y}}\left(\sqrt{1+2 n^y}+\sqrt{1+n^y}\right)}{(n+1)^2\cdot\frac{1}{(n+1)^y}\cdot\frac{1}{\sqrt{(n+1)^y}}\left(\sqrt{1+2(n+1)^y}+\sqrt{1+(n+1)^y}\right)}<
<\frac{n^2 (n+1)^{3y/2}}{(n+1)^2 n^{3y/2}}=\left(\frac{n}{n+1}\right)^{2-3y/2}[/math]

ed avendosi
[math]1<2-3y/2<2[/math]
segue che anche in questo caso
[math]\frac{a_{n+1}}{a_n}<1[/math]
.
La serie converge quindi, per Leibniz, per ogni
[math]x>-2[/math]
.
ale88
ale88 - Erectus - 146 Punti
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Wow!! spiegazione perfetta!! Grazie mille davvero!!!!!!!!!!!!!!!! :D
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Prego, non c'è di che.
BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
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chiuderò, direi che, come al solito, l'intervento di ciampax è stato risolutivo.
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