lucyrenzo
Rispondi Cita Salva
Salve a tutti. Volevo chiedervi come procedere con il seguente esercizio: studiare la serie d'argomento:
arctg(n^a-(n^a)cos{1/n^2) al variare di a parametro reale.
prima di arrivare a dover considerare il parametro occorre stabilire la monotonia della serie. Non vi saprò essere molto d'aiuto perchè è la prima volta che affronto esercizi del genere. ma siccome vorrei imparare a svolgere anche questi, possiamo arrivare insieme alla soluzione. vi ringrazio.
Nel mentre cerco di far qualcosa:
posso innanzitutto dapprima a=0, così da trovare la serie: arctg(1-cos(1/n^2)).
adesso occorre stabilire la monotonia di questa successione. la funzione arctg è crescente pertanto basta studiare l'argomento: 1-cos1/n^2.
allora: 1/n^2>=1/n^2+1 -> poichè la funzione coseno non è monotona su R, dal momento che assume valore compresi tra -1 e 1, dovrei considerare una restrizione ma non so come fare. in base alla monotonia della funzione coseno, aggiungendo al primo e al secondo membro -1 non cambia il verso della disuguaglianza e poi possiamo moltiplicare per -1 così da ottenere l'argomento di partenza. a seconda della monotonia della funzione coseno si stabilirà il comportamento di tutta la funzione...ma non sono sicura delle mie affermazioni.
PrInCeSs Of MuSiC
PrInCeSs Of MuSiC - Genius - 76233 Punti
Rispondi Cita Salva
Ehm... sistema la formula!
lucyrenzo
Rispondi Cita Salva
purtroppo ho provato a scriverla con [math]..etc... ma ho troppe difficoltà. non capisco quando sia necessario inserire \...
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
Rispondi Cita Salva
La serie è questa:

[math]\sum_{n=1}^\infty \arctan\left\{(n^\alpha)-(n^\alpha)\cos\frac{1}{n^2}\right\},\qquad \alpha\in\mathbb{R}[/math]

Se sì, poi te la risolvo. Altrimenti cerca di scriverla per bene.

In ogni caso non è così che si risolve una serie numerica dipendente da un parametro.

Questa risposta è stata cambiata da ciampax (08-01-09 21:01, 7 anni 11 mesi 3 giorni )
xico87
xico87 - Mito - 28236 Punti
Rispondi Cita Salva
credo che (n^a-(n^a)cos{1/n^2) sia tutto argomento dell'arcotangente
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
Rispondi Cita Salva
Ok la modifico..... modificata!
lucyrenzo
Rispondi Cita Salva
mi hai anticipata di qualche secondo. Cmq la serie è quella ora scritta. Mi interessa capira come procedere. Purtroppo sono ancora agli inizi e facciamo fatica a svolgere questo tipo di esercizi. Altre serie più semplici le ho svolte senza problemi. Vi ringrazio. sono ovviamente a disposizione se vorrete coinvolgermi passo passo.
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
Rispondi Cita Salva
Allora, passiamo a risolvere sta roba. La prima cosa da fare nel risolvere questi esercizi è verificare che il termine n-simo abbia limite che tende a zero per n che tende ad infinito, cioè

[math]\lim_{n\rightarrow\infty} a_n =0[/math]

Se ciò non accade puoi sicuramente affermare che la serie non converge. Il passo successivo consiste nell'usare un qualche criterio di convergenza per determinare se la serie in questione sia o meno convergente (la condizione di limite per il termine n-imo infinitesimo è necessaria ma non sufficiente.)

Veniamo ora al caso specifico. Calcoliamo il limite

[math]\lim_{n\rightarrow\infty}\arctan\left\{(n^\alpha)\left(1-\cos\frac{1}{n^2}\right)\right\}[/math]

Osserva che l'argomento dell'arcotangente si comporta in modo diverso a seconda dei valori di
[math]\alpha[/math]
. In particolare
[math]\lim_{n\rightarrow\infty}(n^\alpha)\left(1-\cos\frac{1}{n^2}\right)=
\left\{\begin{array}{lcl}
0 & \alpha \leq 0\\ +\infty & \alpha>0
\end{array}\right.[/math]

Ne segue che

[math]\lim_{n\rightarrow\infty}\arctan\left\{(n^\alpha)\left(1-\cos\frac{1}{n^2}\right)\right\}=
\left\{\begin{array}{lcl}
\arctan 0 & \alpha \leq 0\\ \arctan(+\infty) & \alpha>0
\end{array}\right.=
\left\{\begin{array}{lcl}
0 & \alpha \leq 0\\ \pi/2 & \alpha>0
\end{array}\right.[/math]

Segue subito che per
[math]\alpha>0[/math]
la serie non converge. Per quanto riguarda gli altri valori di
[math]\alpha[/math]
, osserva che per n che tende all'infinito il termine generale si comporta, asintoticamente, come
[math]n^\alpha,\quad \alpha<0[/math]
. Ne segue che la serie originale si comporta come la serie
[math]\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^\beta},\quad \beta=-\alpha[/math]

la quale è una serie armonica generalizzata e converge per tutti i valori di
[math]\beta >1[/math]
. Ma allora, ricordando le posizioni fatte, la serie originale converge per
[math]-\alpha >1 \Longleftrightarrow \alpha<-1[/math]
.
Probabilmente ho scritto le cose di fretta e qualcosa non ti è chiaro. Mandami un pm, se vuoi, e ti spiego passo passo cosa ho fatto.
lucyrenzo
Rispondi Cita Salva
no ciampax. tutto chiaro. ricontrollerò domani mattina ma ho capito come hai svolto. proverò a farne altri per vedere se ho inteso l'applicazione. grazie infinite
Come guadagno Punti nel Forum? Leggi la guida completa
In evidenza
Classifica Mensile
Vincitori di novembre
Vincitori di novembre

Come partecipare? | Classifica Community

Community Live

Partecipa alla Community e scala la classifica

Vai al Forum | Invia appunti | Vai alla classifica

Registrati via email