Marko.19
Marko.19 - Habilis - 232 Punti
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ciao a tutti,dovrei studiare le proprieta' di convergenza di questa serie:

[math]\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^nsen^nx}{n2^n}[/math]

e inoltre devo calcolarne la somma della serie derivata.
Premetto che non so dove mettere le mani, queste serie mi mandano proprio nel pallone! ma come si fanno???????? grazie anticipatamente per l'aiuto.
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Dunque, per prima cosa puoi osservare che

[math]\left|\frac{(-1)^n \sin^n x}{n 2^n}\right|\leq \frac{1}{n 2^n}[/math]

Detto allora,
[math]a_n=\frac{1}{n 2^n}[/math]
, poiché
[math]\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{n 2^n}{(n+1) 2^{n+1}}=\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{n}{2(n+1)}=\frac{1}{2}<1[/math]

la serie
[math]\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n 2^n}[/math]
converge e quindi, per il criterio del confronto, la serie di funzioni da te studiata converge totalmente (e quindi converge uniformemente per ogni valore della x).
Indichiamo con

[math]f(x)=\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n\sin^n x}{n 2^n}[/math]

la somma della serie data: allora la serie derivata è

[math]f'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n\ n\ \sin^{n-1}x\ \cos x}{2^n}=\frac{\cos x}{\sin x}\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n\ \sin^n x}{2^n}=\frac{\cos x}{\sin x}\sum_{n=1}^\infty\left(-\frac{\sin x}{2}\right)^n[/math]

Osserva ora che
[math]\left|-\frac{\sin x}{2}\right|<1/2[/math]
e quindi la serie che appare nell'ultimo membro di
[math]f'(x)[/math]
risulta una serie geometrica di ragione
[math]q=-\frac{\sin x}{2}[/math]
e primo termine
[math]-\frac{\sin x}{2}[/math]
. La sua somma allora è
[math]\sum_{n=1}^\infty\left(-\frac{\sin x}{2}\right)^n=-\frac{\sin x}{2}\cdot\frac{1}{1+\frac{\sin x}{2}}=-\frac{\sin x}{2+\sin x}[/math]
.
Infine

[math]f'(x)=-\frac{\cos x}{\sin x}\cdot\frac{\sin x}{2+\sin x}=-\frac{\cos x}{2+\sin x}[/math]

è la risposta al tuo quesito.

OSSERVAZIONE: Nota la derivata della serie, puoi calcolare anche quanto vale la serie stessa. Infatti integrando l'ultima cosa scritta si ricava

[math]f(x)=-\log(2+\sin x)+c[/math]

dove
[math]c[/math]
è una costante arbitraria. Per determinarla osserva che
[math]f(0)=\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n \sin^n 0}{n 2^n}=0[/math]

e quindi

[math]0=f(0)=-\log(2+\sin 0)+c=-\log 2+c[/math]

da cui
[math]c=\log 2[/math]
. Segue allora che
[math]f(x)=-\log(2+\sin x)+\log 2=\log\left(\frac{2}{2+\sin x}\right)[/math]

che è una cosa in più, ma che valeva la pensa di sottolineare.
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