collimarco
collimarco - Erectus - 80 Punti
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In una equazione del tipo:
[math]\frac{(x+2)(3-x)}{(x+2)} >= 0[/math]

E' sempre possibile semplificare (x+2) ? C'è da fare attenzione a qualche campo di esistenza?

Grazie!
sqklaus
sqklaus - Genius - 8285 Punti
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si' la proprieta' invariantiva delle frazioni algebriche te lo garantisce
e no il campo di esistenza visto che in questo caso il denominatore diventa 1 [ l-intero insieme dei reali
collimarco
collimarco - Erectus - 80 Punti
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Grazie della risposta, ma nel frattempo ho pensato che forse il CE ci vuole eccome! Infatti:
[math]\frac{(x-2)(x-2)}{(x-2)} >= 0[/math]

Se non si fa il CE e si semplifica, x=2 diventerebbe una soluzione, quando invece non lo è!

UPDATE: e infatti ho detto una gran cavolata! Hai ragione x=2 è una soluzione. Purtroppo però no riesco a capire perché non devo fare il CE: non è che puoi riscrivermi la risposta con parole diverse?

Praticamente - se ho ben capito - per semplificare una qualsiasi frazione anche contenente l'incognita al denominatore non è mai necessario imporre il CE, giusto?
Grazie mille e scusa ancora per la cavolata che ho detto!
BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
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Mi permetto di intervenire, perchè qui c'è qualcosa che non va.
Quando ti trovi una frazione algebrica e "semplifichi" il numeratore con il denominatore, devi SEMPRE fare il campo di esistenza!

Quindi nell'esempio da te riportato (e come effettivamente da te ipotizzato) il valore x=2, che apparentemente risolve l'equazione, non può essere accettato.

Proviamo a capire perchè...

Supponiamo di avere un'equazione:

[math]\frac{x^2+2x+1}{x+1}=0[/math]

Al fine di risolverla, effettivamente, noi semplifichiamo

[math]\frac{(x+1)^2}{x+1}=0 \\ x+1=0 \\ x=-1[/math]

Ma il valore trovato, sostituito all'equazione, la rende di fatto

[math]\frac{0}{0}[/math]

che non ha senso..

E infatti, se volessimo rappresentare,sul piano cartesiano, la funzione

[math]f(x)= \frac{x^2+2x+1}{x+1}[/math]

Questa sarebbe il corrispondente della retta

[math]f(x)=x+1[/math]

ma con il "buco" in x=-1 (che vedrài credo più avanti che sarà un punto di discontinuità "eliminabile";)

Pertanto l'equazione di cui sopra, NON HA soluzioni reali.
sqklaus
sqklaus - Genius - 8285 Punti
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facendo come dici tu caro bit5 non potresti mai semplificare alcuna frazione ne sommare frazioni algebriche facendo mcd
siccome algebricamente e anche logicamente la frazione
[math]\frac{y^2}{y} [/math]
e' identica a y (come risulta dalla semplificazione ) il suo campo di esistenza e' esattamente identico a quello di y cioe' e' l-intero insieme dei reali e se y=x-2 ricadi nel caso prospettato dall'amico
cmq possiamo sempre fare ricorso al maggior consiglio e chiedere al mod ...
collimarco
collimarco - Erectus - 80 Punti
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Nel frattempo ho chiesto anche alla mia prof. e mi ha risposto esattamente allo stesso modo di BIT5, e cioè che il CE deve sempre essere fatto prima di qualsiasi semplificazione e che in questo caso si tratta di un punto di discontinuità eliminabile (ha calcolato il limite, anche se per me sarà programma del prossimo anno).

Attendo maggiori conferme, tenendo conto anche di questo:
http://www07.wolframalpha.com/input/?i=%28x%2B2%29%283-x%29%2F%28x%2B2%29%3E%3D0
xico87
xico87 - Mito - 28236 Punti
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BIT ti ha detto giusto.
se fosse come dice sqklaus, allora ponendo y = 0 dovresti avere 0*0/0 = 0, ma è noto che 0*0 = 0, quindi 0*0/0 = 0/0 che è una forma indeterminata e pertanto non è uguale a 0.
le operazioni che si fanno dentro ai limiti (che studierai) non hanno validità generale, nel senso che un conto è specificare quali valori la funzione approssima in determinati punti critici del dominio, un altro è dire quali valori effettivamente assume. in x=-2, f(x) non esiste
collimarco
collimarco - Erectus - 80 Punti
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Grazie davvero! Mi avete chiarito le idee.. Un ultima cosa, allora Wolfram|Alpha sta semplicemente assumendo x=-2 come un valore "approssimato", giusto?
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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BIT5 ha detto giusto!

In modo più discorsivo si può affermare la cosa seguente: semplificare significa dividere numeratore e denominatore di una frazione per la stessa quantità. Ma sappiamo che non si può dividere per zero! Ergo, si può semplificare solo nell'istante in cui si è certi che l'oggetto della semplificazione sia non nullo. Un esempio banale è il seguente: se
[math]a=b[/math]
allora
[math]2a=a+b[/math]
da cui
[math]2a-2b=a-b[/math]

ma allora

[math]2(a-b)=a-b[/math]

e dividendo per
[math]a-b[/math]
(CHE E' UGUALE A ZERO) si trova
[math]2=1[/math]

che è palesemente falsa! :)

Spero di aver portato chiarezza!
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