reanto91
reanto91 - Bannato - 252 Punti
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si determini l'insieme di definizione e si studi il segno della funzione definita da:

log(pedice1/2)( | {x+1}/{x-1}|-2)* arcsin \sqrt{{e^2x -5e^x + 4}/{4}}

risolvere questa disequazione
bimbozza
bimbozza - Genius - 19548 Punti
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dov'è il problema? esponi i tuoi dubbi
reanto91
reanto91 - Bannato - 252 Punti
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non riesco a risolvere la disequazione coi logaritmi e con l'arcsin.
bimbozza
bimbozza - Genius - 19548 Punti
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fino ad ora non mi caricava la pagina ma ho dato per scontato che nel link ci fosse una disequazione, data la tua richiesta...però, adesso che l'ha caricata, vedo che c'è solo una funzione...
Considerando che nel thread iniziale parli del dominio e di segno, l'ho considerata una svista...
Nel dominio non compare ne il logaritmo ne l'arcoseno...
Il dominio, infatti, è dato dal sistema

[math]\begin{cases}x-1 \not= 0\\
e^{2x} -5e^x + 4>=0\\
|\frac{x+1}{x-1}|-2>0\\
-1<=\sqrt{\frac{e^{2x} -5e^x + 4}{4}}<=1\end{cases}[/math]

deduco quindi che tu stia parlando SOLO dello studio del segno ma, prima di procedere, vorrei una tua conferma.
reanto91
reanto91 - Bannato - 252 Punti
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Si proprio così non riesco a risolvere il segno della funzione

Aggiunto 6 minuti più tardi:

Comunque sotto radice vi è :sqrt[(e^(2x)-5e^x+4)/4]
bimbozza
bimbozza - Genius - 19548 Punti
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grazie, mi ero dimenticata una parentesi....
una disequazione del tipo f(x)*g(x)>0 si risolve studiando separatamente f(x) e g(x) e andando a cercare gli intervalli in cui le due funzioni sono entrambe o positive o negative.
Studiamo quindi la prima funzione

[math]log_{1/2}(|\frac{x+1}{x-1}|-2)>0[/math]

che si risolve svolgendo

[math]\begin{cases}|\frac{x+1}{x-1}|-2>0\\
|\frac{x+1}{x-1}|-2<1\end{cases}
[/math]

mentre la seconda funzione è

[math]arcsin \sqrt{\frac{e^{2x} -5e^x + 4}{4}}>0[/math]

che si risolve svolgendo

[math]\begin{cases} \sqrt{\frac{e^{2x} -5e^x + 4}{4}}<=1\\
\sqrt{\frac{e^{2x} -5e^x + 4}{4}}>0 \end{cases}[/math]

Servono proprio tutti i calcoli o basta questa impostazione? Fammi sapere ^.^
reanto91
reanto91 - Bannato - 252 Punti
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si riesci a fare i calcoli è meglio.. grazie
bimbozza
bimbozza - Genius - 19548 Punti
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[math]\begin{cases}A)|\frac{x+1}{x-1}|-2>0\\
B)|\frac{x+1}{x-1}|-2<1\end{cases}
[/math]

A) è data dall'unione di due sistemi. Svolgiamo il primo
[math]\begin{cases}A1) \frac{x+1}{x-1}-2>0\\
A2) \frac{x+1}{x-1}>=0\end{cases}
[/math]

[math]\begin{cases}A1) \frac{x+1-2x+2}{x-1}>0\\
A2) \frac{x+1}{x-1}>=0\end{cases}
[/math]

[math]\begin{cases}A1)\frac{-x+3}{x-1}>0\\
A2)\frac{x+1}{x-1}>=0\end{cases}
[/math]

A1) N:-x+3>0 cioè x<3
D: x-1>0 cioè x>1 quindi, studiando il segno, otteniamo 1<x<3

A2) N: x+1>=0 cioè x>=-1
D: x-1>0 cioè x>1 quindi, studiando il segno, otteniamo x<=-1 e x>1

le soluzioni di questo sistema sono quindi 1<x<3
Svolgiamo ora il secondo sistema:

[math]\begin{cases}A1) \frac{x+1}{x-1}+2<0\\
A2) \frac{x+1}{x-1}<0\end{cases}
[/math]

[math]\begin{cases}A1) \frac{x+1+2x-2}{x-1}<0\\
A2) \frac{x+1}{x-1}<0\end{cases}
[/math]

[math]\begin{cases}A1) \frac{3x-1}{x-1}<0\\
A2) \frac{x+1}{x-1}<0\end{cases}
[/math]

A1) N: 3x-1>0 cioè x>1/3
D: x-1>0 cioè x>1 quindi, studiando il segno, otteniamo 1/3<x<1

A2) N: x+1>0 cioè x>-1
D: x-1>0 cioè x>1 quindi, studiando il segno, otteniamo -1<x<1

questo sistema ha soluzioni 1/3<x<1

La soluzione di A è quindi 1/3<x<1 U 1<x<3

Passiamo alla disequazione B.
[math]|\frac{x+1}{x-1}|-2<1\\
|\frac{x+1}{x-1}|-3<0[/math]

B) è anch'esso dato dall'unione di due sistemi. Svolgiamo il primo
[math]\begin{cases}B1) \frac{x+1}{x-1}-3<0\\
B2) \frac{x+1}{x-1}>=0\end{cases}
[/math]

[math]\begin{cases}B1) \frac{x+1-3x+3}{x-1}<0\\
B2) \frac{x+1}{x-1}>=0\end{cases}
[/math]

[math]\begin{cases}B1)\frac{-2x+4}{x-1}<0\\
B2)\frac{x+1}{x-1}>=0\end{cases}
[/math]

B1) N:-2x+4>0 cioè x<2
D: x-1>0 cioè x>1 quindi, studiando il segno, otteniamo x<1 e x>2

B2) N: x+1>=0 cioè x>=-1
D: x-1>0 cioè x>1 quindi, studiando il segno, otteniamo x<=-1 e x>1

le soluzioni di questo sistema sono quindi x<=-1 e x>2
Svolgiamo ora il secondo sistema:
|\frac{x+1}{x-1}|-3<0

[math]\begin{cases}B1) \frac{x+1}{x-1}+3>0\\
B2) \frac{x+1}{x-1}<0\end{cases}
[/math]

[math]\begin{cases}B1) \frac{x+1+3x-3}{x-1}<0\\
B2) \frac{x+1}{x-1}<0\end{cases}
[/math]

[math]\begin{cases}B1) \frac{4x-2}{x-1}<0\\
B2) \frac{x+1}{x-1}<0\end{cases}
[/math]

B1) N: 4x-2>0 cioè x>1/2
D: x-1>0 cioè x>1 quindi, studiando il segno, otteniamo x<1/2 e x>1

B2) N: x+1>0 cioè x>-1
D: x-1>0 cioè x>1 quindi, studiando il segno, otteniamo -1<x<1

questo sistema ha soluzioni -1<x<1/2

La soluzione di B è quindi x<1/2 e x>2

Il sistema tra A e B da quindi come soluzione
1/3<x<1/2 e 2<x<3
reanto91
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grazie mille
bimbozza
bimbozza - Genius - 19548 Punti
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----------------------------------seconda funzione--------------
[math]\begin{cases} A)\sqrt{\frac{e^{2x} -5e^x + 4}{4}}<=1\\
B)\sqrt{\frac{e^{2x} -5e^x + 4}{4}}>0 \end{cases}[/math]

A) si risolve svolgendo il sistema

[math]\begin{cases}A1)\frac{e^{2x} -5e^x + 4}{4}>=0\\
A2) \frac{e^{2x} -5e^x + 4}{4}<=1\end{cases}[/math]

[math]\begin{cases}A1) e^{2x} -5e^x + 4>=0\\
A2)e^{2x} -5e^x + 4<=4\end{cases}[/math]

[math]\begin{cases} A1)e^{2x} -5e^x + 4>=0\\
A2)e^{2x} -5e^x <=0\end{cases}[/math]

A1 è un'equazione di secondo grado in
[math]e^x[/math]
. Se la cosa ti mette difficoltà sostituisci e^x con t ed ottieni
[math]t^2-5t+4>=0[/math]
che ha soluzioni t>=4 e t<=1 sostituendo t con e^x otteniamo x<=0 e x>=ln4
A2 si svolge in modo analogo ad A1 ottenendo x<=ln5

La soluzine di questo sistema è quindi x<=0 e ln4<=x<=ln5

Svolgiamo adesso B
[math]\sqrt{\frac{e^{2x} -5e^x + 4}{4}}>0 \\
\frac{e^{2x} -5e^x + 4}{4}>0\\
e^{2x} -5e^x + 4>0 [/math]
che ha soluzioni x<0 e x>ln4

quindi il sistema formato da A e B ha soluzioni x<0 e ln4<x<=ln5


In conclusione, se studiamo il segno tra le soluzioni della prima funzione e quelle della seconda, otteniamo che la funzione è positiva negli intervalli 0<x<1/3 U 1/2<x<ln4 U ln5<=x<2 U x>3. Se hai dei dubbi, chiedi pure ^.^
reanto91
reanto91 - Bannato - 252 Punti
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ehi ma l'arcoseno dove è andato a finire??
bimbozza
bimbozza - Genius - 19548 Punti
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l'arcoseno di una funzione è positivo se la funzione è compresa in (0,1] quindi, nei calcoli, scompare
reanto91
reanto91 - Bannato - 252 Punti
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ma l'arcoseno non è compreso tra -1 e 1
bimbozza
bimbozza - Genius - 19548 Punti
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sì, ma nell'intevallo [-1,0) assume valori negativi, mentre nell'intervallo (0,1] positivi. Noi dovevamo risolvere
arcosin( f(x) )>0 quindi dovevamo valutare dove la funzione assumesse valori positivi, perciò abbiamo studiato 0<f(x)<=1
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