Giulio1
Giulio1 - Ominide - 2 Punti
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Rappresenta la parabola y=-1\4x^2+2x-1 dopo averne determinato fuoco,vertice,asse,direttrice e punti di intersezione con gli assi cartesiani.Trova poi l'equazione della circonferenza con centro nel vertice della parabola e passante per il suo fuoco.Spiega perchè la circonferenza è tangente alla direttrice.
RISULTATI:
V(4;5)
F(4;4)
Y=6
x=4
A(+-(2rad3);0)
B(0;-1)
x^2+y^2-8x-10y+40=0
enrico___1
enrico___1 - Genius - 3717 Punti
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Per trovare il vertice usi queste formule, considerando una parabola
[math]y=ax^2+bx+c[/math]
(nel tuo caso a=
[math]-\frac{1}{4}\qqua b=2\qquad c=-1[/math]
)
[math]
V(-\frac{b}{2a},-\frac{\Delta}{4a})
[/math]

[math]
F(\frac{1-\Delta}{4a}, -\frac{b}{2a})
[/math]

Per trovare i punti di intersezione con gli assi cartesiani poni x=0 e trovi l'intersezione con l'asse y, poi con y=0 trovi l'intersezione con l'asse x

[math]
\{y=-\frac{1}{4}x^2+2x-1\\y=0
[/math]

e poi

[math]
\{y=-\frac{1}{4}x^2+2x-1\\x=0
[/math]

L'equazione della direttrice è y=
[math]-\frac{1+\Delta}{4a}[/math]
mentre quella dell'asse è
[math]x=-\frac{b}{2a}[/math]

L'equazione della circonferenza è:
[math](x-x_{0})^2+(y-y_{0})^2=r^2[/math]

dove
[math]x_{0}\;e\;y_{0}[/math]
sono le coordinate del centro (nel tuo caso il centro è dato dalle coordinate del centro
[math]V_{x}\;e\;V_{y}[/math]
)
mentre r è la distanza tra il centro e il fuoco che ha coordinate
[math](F_{x},F_{y})[/math]
Quindi
[math]r^2=(V_{x}-F_{x})^2+(V_{y}-F_{y})^2[/math]

Per trovare l'equazione in forma "estesa" della circonferenza svolgi i quadrati ed esegui eventuali calcoli per arrivare ad una forma
[math]x^2+y^2+ax+by+c=0[/math]



Considerando l'equazione della circonferenza e quella della direttrice a sistema, si possono verificare i seguenti casi:

- due punti in comune: la direttrice è secante la circonferenza
- un punto in comune: la direttrice è tangente alla circonferenza
- nessun punto in comune: la direttrice è esterna alla circonferenza
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